Wie konstruiert man Felder aus einer einheitlichen Darstellung der Poincaré-Gruppe?

Diese Antwort erklärt, wie genau der Feldoperator so konstruiert wird, dass er den Ein-Teilchen-Zustand darstellt. Wenn sich Ihre Frage auf das erste Prinzip bezieht, aus dem wir natürlich Feldoperatoren einführen, schreibe ich eine Antwort um.

Lesen Sie zuerst meine Antwort auf diese Frage. Hier füge ich einige technische Details für den einfachsten Fall hinzu - Felder, die irreduzible massive Darstellungen der Poincaré-Gruppe mit ganzzahligem Spin realisieren (die anderen Fälle werden analog realisiert, aber schwieriger).

Wie in der verknüpften Antwort behauptet wurde, ist die Grundlage für das Erhalten relativistischer Wellengleichungen (im Prinzip ist dies genau der Weg, um ein relativistisches Wellenfeld zu konstruieren) der Unterraum massiver einheitlicher Darstellungen der Poincare-Gruppe mit einer Masse ungleich Null$m$und drehen$s$ist durch zwei Casimir-Operatoren gekennzeichnet,

$$\tag 1 \hat{P}_{\mu}\hat{P}^{\mu} = m^{2}\cdot\text{id}, \quad \hat{W}_{\mu}\hat{W}^{\mu} = -m^2s(s+1)\cdot \text{id}$$ Zur Darstellung von Schöpfungs-/Vernichtungsfeldern $\hat{P}_{\mu} = i\partial_{\mu}$, und der erste Operator ist nur eine Klein-Gordon-Differentialgleichung: $$(\partial^{2}+m^2)\hat{\Phi}_{A}^{\pm} = 0$$ Was die zweite Bedingung betrifft, so ist der Weg, sie in Form einer Differentialgleichung zu konstruieren, schwieriger. Für die bequemste Art, e einzuführen, müssen wir nach den irreduziblen Darstellungen der Lorentz-Gruppe suchen $(A/2, B/2)$, die durch vollständig symmetrische Spinoren realisiert wird $\psi_{a_{1}...a_{A}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{B}}$. Es kann der entsprechende Feldoperator gezeigt werden $\hat{\Psi}^{\pm}_{a_{1}...a_{A}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{B}}$mit $(A+B)/2 = s$realisiert eine Ein-Teilchen-Massive-Darstellung der Poincare-Gruppe (im Sinne von $(1)$) Wenn $$\tag 2 \begin{cases} (\partial^{2} + m^{2})\hat{\Psi}^{\pm}_{a_{1}...a_{A}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{B}} = 0\\ \partial^{a\dot{b}}\hat{\Psi}^{\pm}_{aa_{1}...a_{A-1}\dot{b}...\dot{b}_{B-1}} =0 \end{cases}$$ (Wie Sie wissen, sind massive unitäre Darstellungen mit Spin S durch die gekennzeichnet $SO(3)$kleine Gruppe, Co-Betreiber muss entsprechendes Feld haben $2S+1$Komponente).

Es kann sogar gezeigt werden, dass Repräsentationen$(A, B)$Und$(A-1,B+1)$äquivalent sind, und der entsprechende Äquivalenzoperator wird vom Operator angegeben$\Delta_{a}^{\ \dot{a}} = \frac{1}{m}\delta_{a}^{\ \dot{a}}$. Also zur Darstellung des Ein-Teilchen-Zustands mit ganzzahligem Spin$s = 2S$wir können zweckmäßigerweise Repräsentationen verwenden$\left( S, S\right)$der Lorentzgruppe, die durch den bekannten Isomorphismus in Vektorform gegeben werden kann

$$\tag 2 V_{\mu_{1}...\mu_{S}} = \frac{1}{2^{s}}(\sigma_{\mu_{1}})^{a_{1}\dot{b}_{1}}...(\sigma_{\mu_{S}})^{a_{1}\dot{b}_{S}}V_{a_{1}...a_{S}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{S}}$$ Mit $(3)$, $(2)$umgewandelt wird in $$\begin{cases} (\partial^2 + m^2)\hat{\Phi}_{\mu_{1}...\mu_{S}} = 0 \\ \partial^{\mu}\hat{\Phi}_{\mu...\mu_{S-1}} = 0 \\ \hat{\Phi}_{\mu_{1}...\mu_{S}} = \hat{\Phi}_{(\mu_{1}...\mu_{S})} \\ g^{\mu \nu}\hat{\Phi}_{\mu \nu ... \mu_{S-2}} =0 \end{cases}$$ Hier $(...)$bedeutet Symmetrisierung.