Lorentzalgebra und ihre Generatoren

Question

Lorentzalgebra und ihre Generatoren

Physik
Vektoren
Lügen-Algebra
Lorentz-Symmetrie
Spezielle Relativität
Repräsentationstheorie

Weltschaf

Ich lese Maggiores Buch A Modern Introduction to Quantum Field Theory und bin etwas verwirrt, wenn er über Lorentz-Algebra schreibt:

K ich = J ich 0,

$K^i = J^{i0},$

J ich = 1 2 ϵ ich j k J jk_,

$J^{i}=\frac{1}{2}\epsilon^{ijk}J^{jk},$

[J ich, J J] = ich ϵ ich j k J k,

$[J^{i}, J^{j}] = i\epsilon^{ijk} J^{k},$

[J ich, K J] = ich ϵ ich j k K k .

$[J^{i}, K^j] =i\epsilon^{ijk} K^k.$

Dann sagt er, dass $K^i$ aufgrund der letzten Kommutierungsrelation ein räumlicher Vektor ist. Ist das die Art und Weise, wie eine räumliche Vektortransformation unter dem $SO(3)$ Algebra? Wenn ja warum?

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Lorentzalgebra und ihre Generatoren

glS · Answer 1

Aus Claude Cohen-Tannoudji , Band 2, XD1:

(...) ein beobachtbares $\textbf{V}$ ist ein Vektor, wenn seine drei Komponenten $V_x, V_y$ und $V_z$ in einem orthonormalen Rahmen $Oxyz$ die folgenden Kommutierungsbeziehungen erfüllen:
$[J X, v X] = 0 (4-a)$ $\tag{4-a} [J_x,V_x] = 0$ $[J X, v j] = ich ℏ v z (4-b)$ $\tag{4-b} [J_x,V_y] = i \hbar V_z$ $[J X, v z] = - ich ℏ v j (4-c)$ $\tag{4-c} [J_x, V_z] = -i \hbar V_y$ sowie solche, die durch zyklische Permutation der Indizes $x,y$ und $z$ .

In Ihrer Notation können diese Beziehungen kompakter als

[J ich, v J] = ich ϵ ich j k v k (1)

$\tag{1} [J_i,V_j] = i \epsilon_{ijk} V_k$ oder (formeller, weniger streng)

J \times V = ich ℏ V._

$\textbf{J} \times \textbf{V} = i \hbar \textbf{V}.$

Mit anderen Worten, (1) sind die definierenden Relationen eines Vektoroperators $\textbf{V}$ .

Weitere Informationen zu Vektoroperatoren finden Sie in diesem Wikipedia-Artikel und in dieser Antwort von physical.se .

Jetzt ist es klarer ... Ich habe nicht an $K^i$ als ein Vektor-OPERATOR.
@ Worldsheep na ja. In Ihrer Notation sind sowohl $K^i$ (gedacht als $\{ K^i \}_{i=1,2,3}$ , nicht als i-te Komponente) und $J^i$ sind Vektoroperatoren, da sie beide die definierenden Kommutierungsbeziehungen erfüllen. Das $J^i$ erfüllt, ist natürlich keine Überraschung, da sie in diesem Fall mit den Vertauschungsrelationen zusammenfallen, die $\mathfrak{su}(2) \approx \mathfrak{so}(3)$ Von den Drehimpulsoperatoren erzeugte Lügenalgebra.

Phönix87 · Answer 2

Sie können an das $J^i$ , $i=1,2,3$ als Drehung um $\pi/2$ , genauer gesagt $[J^i, K^j]$ als Rotation von $K^j$ um das $i$ te Achse um $\pi/2$ . Dann ist zB $[J^1,K^2] = iK^3$ , was der Tatsache entspricht, dass, wenn Sie um das $x$ Achse drehen Sie Vektoren auf $y-z$ Ebene. Also $K^2$ wird auf $K^3$ (ähnlich $K^3$ wird auf $-K^2$ . Dies ist das Verhalten von räumlichen Vektoren bei Rotation.

Ich verstehe die formale Analogie, die Sie ziehen, und die Kompatibilität dieses " $\pi/2$ Drehung" mit den Kommutierungsbeziehungen betrachten, aber ich bin neugierig: Ist dies mehr als ein Zufall? Wenn ja (wie es wahrscheinlich ist), warum entsprechen die Generatoren einer Drehung von $\pi/2$ (anstelle eines anderen Winkels)?

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