Warum verwandeln sich die Boost-Generatoren wie ein Vektor unter Rotation?

Vektoren transformieren sich linear,

$$\begin{equation} x _i \rightarrow A _{ ij } x _j \end{equation}$$ durch eine Transformationsmatrix $A$.

Betrachten Sie nun die Transformation von$M _i$:

$$\begin{align} e ^{ i \theta _j J _j } M _i e ^{ - i J _j \theta _j } & = \left( 1 + i \theta _j J _j - ... \right) M _i \left( 1 - i \theta _j J _j - ... \right) \\ & = M _i + i \theta _j \left[ J _j , M _i \right] + ... \end{align}$$ Wenn jetzt $\left[ J _j , M _i \right]$ist nur proportional zu $M _j$wie oben dann infinitesimal, $$\begin{align} e ^{ i \theta _j J _j } M _i e ^{ - i J _j \theta _j } & = M _i + i \theta _j \epsilon _{ jik} M _k \\ &= (\delta_{ik}+i\theta_j\epsilon_{jik})M_k\\ &= A _{i,j}M _j \end{align}$$ für eine Transformationsmatrix $A$nach Bedarf.

Die wichtige Tatsache ist, dass die Änderung eines Objekts$O$unter einer infinitesimalen Transformation, die von einem Generator erzeugt wird$G$können in Bezug auf ihren Kommutator geschrieben werden (infinitesimaler Parameter$\alpha$):

$$O\longrightarrow O + \delta O\enspace\,\,\text{where}\enspace\,\, \delta O = i\alpha [G,\,O]$$

(um dies zu beweisen, siehe JeffDrors Antwort). Um Ihren ersten Kommutator zu interpretieren$[J_i, J_j] = i\epsilon_{ijk} J_k$, Objekt setzen$O=J_j$und Generator$G=J_i$, und das Ergebnis auf der rechten Seite ist$\delta J = i\alpha_j\epsilon_{ijk}\,J_i$sagt Ihnen, wie das Objekt$J$verwandelt sich unter der Wirkung des Generators$J$. Dies definiert einen Vektor . Allgemeiner gesagt, haben wir gelernt

$$\delta O = i\alpha_j\epsilon_{ijk}O_k\qquad\text{under $J_i$}$$ ist, wie ein Vektor $O$verwandelt sich unter der Wirkung von $J$. Ab sofort alle $O$das obige zu erfüllen, ist ein Vektor.

Fahren Sie nun mit dem nächsten Kommutator fort$[J_i, M_j] = i\epsilon_{ijk} M_k$. Um dies zu interpretieren, identifizieren wir$M$als unser Objekt und$J$als Generator. Das Ergebnis auf der rechten Seite$\delta M_i = i\alpha_j \epsilon_{ijk}M_k$sagt dir das$M$transformiert sich genau so, wie sich ein Vektor ändert.