Spezielle Relativitätstheorie: 4-Vektor und 4-Geschwindigkeit

Wie Sie sagen, einzelne Koordinatenpositionen$\vec{s}$sind nicht unveränderlich, nur die Größe der Raumzeitintervalle$\Delta \vec{s}\cdot\Delta\vec{s}$sind unveränderlich.

Ebenso die Koordinatengeschwindigkeit$\vec{u}$ist nicht unveränderlich. Unterschiedliche Beobachter, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten und unterschiedlich ausgerichteten Achsen bewegen, werden sich nicht auf die einzelnen Komponenten der Koordinatengeschwindigkeit eines Objekts einigen können. Sie werden sich alle auf die Größe der 4-Geschwindigkeit einigen, die aus dem Skalarprodukt gefunden werden kann$\vec{u}\cdot\vec{u}$.

4-Geschwindigkeit ist definiert$\frac{d\vec{s}}{d\tau}$. Erinnern,$d\vec{s}$allein ist nicht unveränderlich, aber$d\vec{s}\cdot d\vec{s}$Ist.$|\vec{u}|^2 = \frac{d\vec{s}}{d\tau}\cdot \frac{d\vec{s}}{d\tau}$ist auch.

Wir wissen, dass das vierdimensionale Skalarprodukt unter Koordinatentransformation invariant ist, daher sind auch das Raumzeitintervall und die Eigenzeit invariant.

Richtig. Raumzeitintervall in$(-,+,+,+)$Unterschrift ist$ds^2 = -c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$und ist Lorentz- invariant und per Definition Eigenzeit$d\tau = \frac{\sqrt{-ds^2}}{c}$ist auch unveränderlich .

Da die 4-Geschwindigkeit gegeben ist durch das Raum-Zeit-Intervall dividiert durch die Eigenzeit. Warum ist dann die 4-Geschwindigkeit nicht invariant?

Nein, 4-Velocity ist$\vec u = \frac{\vec {ds}}{d\tau} = (\gamma, \gamma \frac{\vec v}{c})c$. Nun kann dies gerade wegen der Zeitdilatation nicht für alle Fälle unveränderlich sein. Dies kann der Fall sein, wenn der Zeitdilatationsfaktor eins oder gleichwertig ist$v = 0$wo sich der Bezugsrahmen des Beobachters überhaupt nicht bewegt. Dies sollte wahr sein, genau wie erwartet.