Geometrische Definition des Lorentz-Innerprodukts

Der metrische Minkowski-Tensor $\mathbf \eta$nimmt zwei Vierervektoren als Argumente und erzeugt eine reelle Zahl, das innere Produkt der beiden Vektoren:

wo die Eins-Form $\tilde u$wird von gegeben

Geometrisch stellt man sich das vor als Zählen der Flächen der Einsform$\tilde u$vom Vektor „durchbohrt“.$\vec v$.

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Ja und nein.

Erstens ist die Projektion eine Operation, die einen Vektor nimmt und einen anderen Vektor ergibt, der in einem Unterraum lebt. Die Projektion gibt keine Länge an (obwohl Sie über die Länge der Projektion sprechen können).

Und manchmal sprechen die Leute über verschiedene Arten von Projektionen, aber die erste (und einzige) Projektion, die viele Leute lernen, ist die orthogonale Projektion, also denken einige Leute, dass Projektion die einzige ist und Sie aufpassen müssen, da Menschen mit dem Wort verschiedene Dinge meinen können Projektion. Aber eine Projektion nimmt immer einen Vektor und ergibt einen Vektor.

Ein inneres Produkt (oder eine bilineare Form) nimmt zwei Vektoren und ergibt einen Skalar. Eine Möglichkeit ist es, über die Länge der Projektion von einem o zum anderen zu sprechen, aber dann brauchen Sie immer noch ein Zeichen.

In vielen Situationen ändert sich nichts. Sie können sich den Unterraum vorstellen, auf den Sie projizieren, und Sie stellen sich sein orthogonales Komplement vor (wenn Ihre Projektion nicht orthogonal ist, stellen Sie sich ein allgemeineres Komplement vor), dann drücken Sie den zu projizierenden Vektor als Summe von zwei Vektoren aus jeder der beiden Unterräume und dann wählt die Projektion diesen Vektor aus dem richtigen Raum aus.

Aber das schlägt fehl, wenn das Objekt, auf das Sie projizieren, leicht ist. Insbesondere enthält die Hyperebene von Vektoren, die metrisch orthogonal zu einem lichtähnlichen Vektor sind, den lichtähnlichen Vektor.

Wenn Sie versucht haben, einen lichtähnlichen Vektor auf sich selbst zu projizieren, befindet er sich im Raum, der vom Vektor aufgespannt wird, und er befindet sich auch im Raum der Dinge, die orthogonal zum Vektor sind. Es ist orthogonal zu sich selbst.

Sie können also projizieren, wenn Sie einen komplementären Raum haben, aber die Menge des orthogonalen Vektors den lichtähnlichen Vektor nicht ergänzt. Orthogonale Projektionen versagen also.

Da das innere Produkt symmetrisch ist, könnten Sie auf das andere projizieren, es sei denn, sie sind beide lichtartig. Oder da das innere Produkt bilinear ist, können Sie es auf übliche Weise mit orthogonalen Projektionen auf zeitähnliche und raumähnliche Vektoren definieren und diese dann algebraisch verwenden, um das innere Produkt für alles zu erhalten.

Es gibt auch andere Ansätze, bei denen das innere Produkt einfach den Vektoren innewohnen kann, indem ein geometrisches Produkt in einem Raum linearer Kombinationen von Produkten von Vektoren erstellt wird, das eine assoziative und lineare und distributive Multiplikation aufweist und jeden Vektor zu seinem metrischen Quadrat sendet wenn mit sich selbst multipliziert. Und dann erscheint das Skalarprodukt als symmetrisches Produkt von Vektoren.

In diesem Fall fällt die geometrische Implikation automatisch heraus, da orthogonale Vektoren sich ergeben, um den Unterraum, den sie überspannen, auf natürliche Weise darzustellen, und das Produkt eines Vektors mit einem Unterraum die Summe des größeren Raums ergibt, den sie überspannen (der vom Raum linear unabhängige Vektorteil gibt das) und der von dem Raum überspannte Teil erzeugt den Unterraum dieses Unterraums, der das orthogonale Komplement dieser Projektion ist.

Ja, das können Sie tun. Insbesondere wenn Sie eine lineare Funktion betrachten, die zwei Vektoren zu den Realzahlen (oder einem beliebigen Feld, das Sie interessiert) führt, und weiterhin darauf bestehen, dass diese Funktion symmetrisch ist und dass ihre Darstellung in jeder Basis umkehrbar ist (also für jede Basis$\{\vec{e}_i\}$, kann die Funktion durch eine Matrix dargestellt werden$g^{ij}$, und diese Matrix muss nichtsingulär sein), dann lässt sich leicht zeigen, dass eine solche Funktion die meisten Eigenschaften einer Metrik hat. Die Eigenschaft, die es möglicherweise nicht hat, ist positive / negative Bestimmtheit.

Es gibt dann einen schönen Satz (der leicht zu beweisen ist), dass man immer eine Basis für den Vektorraum finden kann, so dass die Komponenten dieser Funktionen die Form haben$\textrm{diag}(1, \ldots, 1, -1, \ldots, -1)$. Wenn die Vorzeichen alle gleich sind (also alle$1$s oder alle$-1$s) dann ist dies die gewöhnliche euklidische Metrik. Aber interessanterweise gibt es nicht sehr viele andere mögliche Arten von (Pseudo-)Metriken : Sie können die Möglichkeiten charakterisieren, indem Sie die Diagonale in jeder Basis summieren, in der sie die obige Form hat, und in$4$Dimensionen sind die einzigen Möglichkeiten$4$,$2$,$0$Und$-2$(gleich wie$2$),$-4$(gleich wie$4$).

Die Minkowski-Metrik ist die$2$(oder$-2$) Fall.

Beachten Sie, dass, obwohl ich hier Basen erwähnt habe, nichts davon basisabhängig ist.