Motivation für die Verwendung von 4-Vektoren in der speziellen Relativitätstheorie

Ich verstehe, dass, wenn man von Anfang an eine 4-dimensionale Raumzeit betrachtet, 4-Vektoren die zu berücksichtigenden natürlichen Größen sind (im Gegensatz zu 3-Vektoren wie in der Newtonschen Mechanik), da der Tangentialraum der Raumzeit gegeben ist Punkt wird notwendigerweise 4-dimensional sein. [Wobei der Begriff der Raumzeit durch die Tatsache motiviert ist, dass die Zeit in der speziellen Relativitätstheorie eine rahmenabhängige Größe ist und als solche nicht mehr unabhängig vom Raum ist, sind die beiden untrennbar miteinander verbunden, da die Zeitkoordinate in einem Rahmen eine Mischung aus wird Raum- und Zeitkoordinaten in einem anderen Rahmen. Da diese Raumzeit 4-dimensional ist, benötigt man 4 Koordinaten, um den Ort eines Ereignisses darin anzugeben.]

Gibt es jedoch eine Möglichkeit, die Verwendung von 4-Vektoren zu motivieren, bevor der Begriff einer Raumzeit eingeführt wird?

Hat es etwas damit zu tun, dass sich sowohl räumliche als auch zeitliche Koordinaten unter sogenannten Lorentz-Transformationen nicht trivial transformieren (um sicherzustellen, dass die Lichtgeschwindigkeit rahmenunabhängig ist) und damit das räumliche Intervall

D S ~ 2 = D X 2 + D j 2 + D z 2
ist nicht mehr invariant, sondern das sogenannte Raum-Zeit-Intervall
D S 2 = − C 2 D T 2 + D X 2 + D j 2 + D z 2
ist unveränderlich. Daher werden 3-Vektoren unter Lorentz-Transformationen nicht korrekt transformiert (ihre Längen sind nicht Lorentz-invariant), und wir müssen Objekte betrachten, die sich unter solchen Transformationen kovariant transformieren , sodass ihre Module invariant sind, dh 4-Vektoren.

Ich bin mir nicht sicher, ob wir als Folge der Einführung der Raumzeit zur Verwendung von 4-Vektoren geführt werden oder ob es vorher andere Motivationen für ihre Verwendung gibt?

„ Die Ansichten über Raum und Zeit, die ich Ihnen vorlegen möchte, sind dem Boden der experimentellen Physik entsprungen, und darin liegt ihre Stärke. Sie sind radikal Schatten, und nur eine Art Vereinigung der beiden wird eine unabhängige Realität bewahren " H.MINKOWSKI in RAUM UND ZEIT, 21. September 1908.

Antworten (2)

Der Satz von Transformationen, der die Lichtgeschwindigkeit unverändert lässt, ist die Lorentz-Gruppe. Die Darstellungstheorie ermöglicht es uns, die irreduziblen Darstellungen der Lorentz-Gruppe zu untersuchen.

Die niederdimensionalen Repräsentationen wirken weiter

  • Skalare
  • Vier-Vektoren

Beachten Sie jedoch, dass wir normalerweise Darstellungen der entsprechenden Lie-Algebra betrachten S Ö ( 3 , 1 ) . Unter den irreduziblen Darstellungen dieser Lie-Algebra befinden sich weitere Darstellungen, die keine Darstellungen der Lorentz-Gruppe sind. Diese Darstellungen entsprechen der Doppelhülle der Lorentz-Gruppe und darunter befindet sich die berühmte Spinor-Darstellung, die den Spin beschreibt 1 2 Partikel. In ähnlicher Weise beschreiben Skalare in der Teilchenphysik den Spin 0 Partikel und Vier-Vektor-Partikel mit Spin 1 .

Könnte man für die Verwendung von 4-Vektoren wie folgt argumentieren. Von Einsteins Postulaten werden wir natürlich zu den Lorentz-Transformationen geführt, die die Koordinaten eines Trägheitsbezugssystems auf ein anderes beziehen. Dabei stellt man fest, dass Zeit tatsächlich eine frameabhängige Größe ist und außerdem räumliche und zeitliche Koordinaten bei solchen Transformationen vermischt werden, was zeigt, dass Raum und Zeit tatsächlich nicht unabhängig sind, sondern als ein 4-dimensionales Kontinuum betrachtet werden sollten, was wir nennen Raumzeit ...
... Wir werden dann natürlich dazu geführt, 4-dimensionale Vektoren zu betrachten, da diese den gesamten Raum aufspannen und sich außerdem unter Lorentz-Transformationen so transformieren, dass die Gleichungen, die physikalische Phänomene beschreiben, Lorentz-invariant sind, eine Forderung von Einsteins Postulaten. Ein zusätzliches Argument für ihre Verwendung ist, dass in der speziellen Relativitätstheorie das Raumzeitintervall eine unveränderliche Größe ist und nicht das traditionelle Pythagoras-Linienelement wie in der klassischen Mechanik ...
... Es ist ersichtlich, dass die Längen von 4-Vektoren in diesem Fall erhalten bleiben, während die Längen von 3-Vektoren nicht erhalten bleiben, daher sollten wir physikalische Gleichungen aus 4-Vektor-Größen (auch Skalare und Tensoren) konstruieren. Wäre das überhaupt eine richtige Einschätzung?
@ user35305 Ja, das klingt für mich richtig

In der speziellen Relativitätstheorie gibt es zwei Hauptannahmen: - die Gesetze der Physik sind in allen Inertialsystemen gleich - die Lichtgeschwindigkeit, die Sie beobachten, ist immer gleich (also unabhängig von der relativen Bewegung zwischen Lichtquelle und Beobachter). Aus diesen beiden Annahmen folgt die berühmte Lorentz-Transformation. Bei diesen Lorentz-Transformationen treten Zeit und Raum ineinander auf, sie treten nicht unabhängig voneinander im Gleichungssystem auf.

In der speziellen Relativitätstheorie können Ort und Zeit nicht mehr als zwei getrennte Dinge betrachtet werden.

Wenn also beispielsweise ein Ereignis stattfindet, müssen Sie drei Koordinaten und eine Zeit angeben, um die Informationen zu geben. Positionen und Zeiten allein machen nicht mehr viel Sinn. Daher ist es bequem, dies in einen Vektor zu schreiben und einen mathematischen Rahmen um ihn herum zu entwickeln.

Die Verwendung von 4-Vektoren folgt also rein aus der Tatsache, dass Zeit und Raum dann durch die Lorentz-Transformationen miteinander verflochten sind? Warum verwendet man dann in der Newtonschen Mechanik nur 3-Vektoren, einfach weil die Zeit in diesem Fall absolut und damit raumunabhängig ist, wodurch wir räumliche Orte von Objekten beschreiben und zeitlich parametrisieren können?
Das ist im Wesentlichen richtig. Die Wahl, 4-Vektoren zu verwenden, ist auch einfach eine Frage der Bequemlichkeit. Maxwell hat ursprünglich mit den Feldgleichungen in Bezug auf Quaternionen gearbeitet, was wirklich nur horrend ist. 4-Vektoren werden nur dann tatsächlich als "4-Vektoren" definiert, wenn wir vorschreiben, wie sie sich bei einer Operation transformieren. Für die Newtonsche Mechanik nehmen wir die Galileische Invarianz an, bei der sich Geschwindigkeiten linear addieren (die von einem festen Zeitbegriff abhängen). In der speziellen Relativitätstheorie gehen wir von Lorentz-Invarianz aus.
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