Koinzidenz von Raumzeitereignissen & Lorentz-Invarianz

Gehe ich richtig in der Annahme, dass, wenn zwei Raumzeit-Ereignisse in einem Bezugsrahmen zusammenfallen , sie in allen Bezugsrahmen übereinstimmen, dh das Zusammenfallen von Raumzeit-Ereignissen ein Lorentz-invariantes Konzept ist?

Wenn ja, ist das Folgende der richtige Weg, um diese Behauptung zu beweisen?

Lassen$x^{\mu}$Und$y^{\mu}$seien die Koordinaten zweier Raumzeitereignisse in einem Inertialsystem$S$. Nehmen wir an, dass diese Ereignisse in diesem Rahmen zusammenfallen, dh$x^{\mu}=y^{\mu}$. Betrachten Sie nun ein anderes Inertialsystem$S'$. In diesem Rahmen befinden sich die Raumzeitkoordinaten der beiden Ereignisse$x'^{\mu}$Und$y'^{\mu}$bzw. Die Koordinaten der Ereignisse in$S'$sind verwandt mit denen in$S$durch eine Lorentz-Transformation in der folgenden Weise$x'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}x^{\nu}$Und$y'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}y^{\nu}$. Daraus folgt dann, dass als$x^{\mu}=y^{\mu}$In$S$,

$$x'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}x^{\nu}=\Lambda^{\mu}_{\;\;\nu}y^{\nu}=y'^{\mu}$$ und daher, wenn die beiden Ereignisse zusammenfallen $S$, dann sind sie auch deckungsgleich in $S'$. Da diese beiden Trägheitssysteme willkürlich gewählt wurden, gilt dies außerdem für alle Trägheitssysteme.

Ist dies der Grund, warum wir Lagrange-Dichten (in der Feldtheorie) in Bezug auf Felder (und ihre Ableitungen erster Ordnung) an einem einzigen Punkt in der Raumzeit konstruieren , da dies der einzige Fall ist, in dem der Ort einer Wechselwirkung Lorentz-invariant ist, und damit einen Lorentz-invarianten Begriff der Lokalität in der Theorie liefern?