Was bedeutet es, wenn man sagt, dass ein Vektorfeld raumartig, zeitartig oder nullsepariert ist?

Die "kanonische" Bedeutung eines Vektors im Allgemeinen im geometrischen Sinne ist eine Verschiebung : wenn Sie einen Punkt haben$P$in einem geeignet homogenen Raum, wie dem euklidischen dreidimensionalen Raum, dann

ist ein Punkt, der in Richtung und durch die darin codierte Entfernung verschoben ist$\mathbf{v}$. Ebenso wenn$Q$Und$P$sind dann zwei Punkte

ist der Vektor, der die Verschiebung von darstellt$P$Zu$Q$.

Dasselbe gilt für Raum-Zeit-Vektoren: Wir können sie verwenden, um Verschiebungen zwischen Raum-Zeit-Punkten darzustellen, genauso wie wir sie verwenden können, um Verschiebungen zwischen rein räumlichen Punkten darzustellen. Daher ist es naheliegend vorzuschlagen, dass wir, wenn wir die Trennungen zwischen Punkten in diese Kategorien klassifizieren können, auch in der Lage sein sollten, Vektoren, die diese Trennungen erzeugen, wenn sie zu dem einen oder anderen Punkt hinzugefügt werden, analog in dieselben Kategorien zu klassifizieren.

Daher können wir definieren, dass ein Vektor raumartig , zeitartig oder lichtartig ist , wenn er einen Raum-Zeit-Punkt (oder Ereignis ) erzeugt, der raumartig, zeitartig oder lichtartig von einem anderen solchen Punkt getrennt ist, wenn er zu diesem gegebenen Punkt hinzugefügt wird. Das ist,$\mathbf{v}$ist raum/zeit/lichtartig wenn$P$Und$P + \mathbf{v}$sind jeweils raum/zeit/lichtartig getrennt.

Daraus können Sie wiederum beweisen , dass in Bezug auf die Länge des Vektors

Das

• $\mathbf{v}$ist zeitähnlich, wenn$||\mathbf{v}||$ist ungleich Null und reell ,
• $\mathbf{v}$ist leicht, wenn$||\mathbf{v}||$ist null,
• $\mathbf{v}$ist raumartig, wenn$||\mathbf{v}||$ist ungleich Null und imaginär .

Und dies kann dann ebenfalls erweitert werden, um analoge Begriffe für andere Vektoren zu definieren, die dimensionsmäßig nicht geeignet sind, Verschiebungen direkt darzustellen. Und wir können es dann auch analog weiter auf Vektorfelder erweitern: ein Vektorfeld$\mathbf{F}$ist (s/t/l)-artig, wenn in jedem Raumzeitpunkt$P$,$\mathbf{F}(P)$ist (s/t/l)-artig, wie wir es gerade definiert und verallgemeinert haben.

Schließlich ist der 4-Impuls physikalisch niemals raumähnlich (nicht „immer zeitähnlich“ – der 4-Impuls von Photonen ist lichtähnlich), da er tatsächlich die Verschiebung innerhalb der Raumzeit darstellt, die ein physisches Objekt erfährt, während es sich bewegt . Und eine Verschiebung in eine raumähnliche Richtung würde eine Bewegung darstellen, die schneller als Licht ist. Und soweit wir herausgefunden haben, reist nichts schneller als das Licht.

Das ist ein Vektor$V$zeitähnlich, lichtähnlich/null oder raumähnlich ist, weist nur darauf hin$V^{\mu}V_{\mu}=V_{0}^{2}-V_{1}^{2}-V_{2}^{2}-V_{3}^{2}=V_{0}^{2}-{\bf V}^{2}$positiv, null oder negativ ist. Was das in verschiedenen spezifischen Fällen bedeutet, variiert etwas.

Für den Vierer-Schwung$p^{\mu}$: Da die Impulskomponenten die kanonisch Konjugierten zu den Ortsvariablen sind,*$p^{\mu}$ist der Generator der Raumzeittranslation. Dies gilt automatisch quantenmechanisch, und es gilt auch klassisch, wenn die Theorie mit Poisson-Klammern interpretiert wird, die Transformationen implementieren, oder durch das Hamilton-Prinzip, wobei die Flugbahn eines Teilchens die Konfiguration der kleinsten Wirkung ist. Qualitativ, das$p^{\mu}$muss zeitähnlich sein (oder lichtähnlich für ein masseloses Teilchen) bedeutet, dass die Raumzeitbahn, der ein Partikel folgt, ebenfalls zeitähnlich (oder lichtähnlich**) sein muss.

Die Situation für die Vierer-Geschwindigkeit ist die gleiche, da die Vierer-Geschwindigkeit nur durch Umskalieren des Vierer-Impulses um definiert wird$m^{-1}$. Die Stromdichte ist etwas komplizierter, aber wenn$J^{\mu}$wird als durch die Bewegung einer (großen) Ansammlung punktförmiger Ladungen erzeugt angesehen,${\bf J}=\sum_{n}q_{n}{\bf v}_{n}\delta^{3}[{\bf r}-{\bf r}_{n}(t)]$, dann stammt auch seine Zeitlichkeit von der Zeitlichkeit von ab$p^{\mu}$.

Die Forderung, dass die Viererkraft raumartig ist, ergibt sich aus der Tatsache, dass ein Massenteilchen$m$muss, sowohl bevor als auch nachdem es einen Vier-Impuls erfährt$\Delta I^{\mu}=F^{\mu}\Delta t$die gleiche Energie-Impuls-Beziehung erfüllen,$E^{2}-{\bf p}^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}$. Weil$|\partial E/\partial{\bf p}|=|{\bf v}|<c$, muss sich die Energie unter dem Impuls weniger ändern als der Impuls (Modulo-Faktoren von$c$), was bedeutet, dass der Viererimpuls (und damit die Viererkraft) einen größeren haben muss$|{\bf F}|$als$F_{0}$; mit anderen Worten, die Vierkraft ist raumartig.

* Dies gilt formal nicht, für die Zeitkomponenten (seit der Zeit$t$ist keine dynamische Variable), aber für die Zeitkomponenten gelten die gleichen qualitativen Aussagen.

**Mit Ausnahme von Reflexionen, die den Impuls von einem lichtähnlichen Vektor zu einem anderen ändern.

(Ich habe die Frage so bearbeitet, dass sie sich auf "Vektoren" und nicht auf "Vektorfelder" bezieht, da nur die Koordinaten und die Stromdichte Vektorfelder und keine einzelnen Vektoren sind. Ein Vektorfeld wäre dagegen eine vektorwertige Funktion der Position Der Impuls eines Teilchens ist nur eine Funktion der Zeit und hat keine Bedeutung, außer am augenblicklichen Ort des Teilchens.)