Warum wird das Raum-Zeit-Intervall quadriert?

Sie haben Recht, wenn Sie darauf hinweisen, dass jede Funktion von$\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 - \Delta t^2$wird konstant sein und von allen Beobachtern vereinbart werden. So könnten wir definieren$\Delta s$sein Kosinus sein ... wenn wir nur daran interessiert wären, eine Invariante zu erhalten.

Sie haben auch Recht, wenn Sie auf das Größenproblem hinweisen. Messen Sie die Zeit in Lichtzentimetern und die Entfernung entlang der x-, y-, z-Achse in Zentimetern. Dann wird die Länge in Zentimetern gemessen, ebenso die Zeit.... Dann hat die rechte Seite Einheiten in cm$^2$, und damit auch die linke Seite. Die Verwendung von Cosinus oder anderen ähnlichen Funktionen wie der von Ihnen vorgeschlagenen Identitätsfunktion würde eine Menge erzeugen, die nicht einmal die Längeneinheiten hätte (und daher keine richtige Zeit sein könnte).

Nun, Definitionen sind willkürlich, also könnten Sie Ps als gleich definieren$\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 - \Delta t^2$wenn Sie möchten, und Sie können ihm einen beliebigen Namen geben. Aber könnten Sie die Grundgesetze der Physik in Bezug auf diese Größe ausdrücken? Es ist eine Anforderung des Relativitätsprinzips, dass es sich um eine Invariante handelt, und entweder Ps oder cos(Ps) würde dies erfüllen, aber es ist wünschenswert , dass es uns das Leben in unseren Formeln erleichtert, da Physik schon schwer genug ist. Es gibt wichtige Gründe, warum wir die Quadratwurzelfunktion anstelle des Kosinus oder anstelle der Identitätsfunktion verwenden möchten, auf der eine der anderen Antworten besteht.

Es geht um mehr, als es nur wie den Satz des Pythagoras oder wie vorrelativistische Physik aussehen zu lassen. Diese Gründe werden erst deutlich, wenn man zur Allgemeinen Relativitätstheorie oder zumindest zur Differentialgeometrie kommt. Dies ist Ihre Frage, umformuliert: Warum wollen wir eine invariante Größe mit Längendimensionen untersuchen? (Das ist dasselbe wie die Zeit).

Die Antwort ist, dass wir in der Lage sein wollen, zu definieren$s$, die eigentliche Zeit oder, wie ich es ausdrücke, "die Länge eines Weges". Sie wird durch ein Linienintegral gegeben$s = \int ds$entlang des Pfades und wird für alle Beobachter unveränderlich sein. Für einen Beobachter, der sich entlang dieses Pfades bewegt, erscheint es als die verstrichene Zeit. Nun ist es ziemlich einfach, dass, wenn zuerst 2 cm Zeit vergehen und dann weitere 3, die verstrichene Gesamtzeit 5 cm beträgt. Wir brauchen also eine zusätzliche Menge . Weder Kosinus noch Ps sind additiv, wie einfache Beispiele zeigen, aber wenn wir definieren$ds^2 = dx^2+ dz^2+dy^2-dt^2$, dann wird es durch das höherdimensionale nicht-euklidische Analogon zum Satz von Pythagoras additiv sein. deshalb findet das Quadrieren statt, und es ist tatsächlich das Quadrieren einer Menge$ds$, und wenn es sich um endliche Intervalle entlang gerader Linien handelt, ist es tatsächlich das Quadrat einer Größe$\Delta s$definiert als

KURZE ANTWORT Wir quadrieren$\Delta s$so dass wir entlang der Weltlinien eine additive Menge erhalten.

und Δs das Raum-Zeit-Intervall ist.

Tatsächlich werden viele (die meisten?) sagen, dass das Raumzeitintervall ist $\Delta s^2$. Mit anderen Worten,$\Delta s^2$ist nicht das quadrierte Intervall; es ist das Symbol für das Intervall.

Da dies in einem Kommentar in Frage gestellt wurde, gebe ich im Folgenden einige Referenzen an:

Bernard Schutz schreibt in Gravity from the Ground up: An Introductory Guide to Gravity and General Relativity :

Hier ist die Definition des Raumzeitintervalls. Angenommen, wie von einem bestimmten Experimentator gemessen, sind zwei Ereignisse durch eine Zeit getrennt$t$und eine räumliche Distanz$x$. In Bezug auf diese Zahlen ist dann das Raum-Zeit-Intervall zwischen den beiden Ereignissen die Quantität

$$s^2=x^2-c^2 t^2.\tag{17.1}$$ Beachten Sie, dass dies als Quadrat einer Zahl geschrieben wird $s$. Das PaceTime-Intervall ist die Menge $s^2$, nicht $s$. In der Tat werden wir uns nicht oft damit befassen $s$selbst. Der Grund ist, dass $s^2$ist nicht immer positiv, anders als die Entfernung im Raum. Wenn $ct$ist größer als $x$in Gleichung 17.1 dann $s^2$wird negativ sein. Um zu vermeiden, aus einer negativen Zahl die Quadratwurzel zu ziehen, rechnen Physiker meist einfach $s^2$und belasse es dabei. Sie sollten nur betrachten $s^2$als einzelnes Symbol und nicht als Quadrat von etwas.

Robert M. Wald schreibt in Space, Time, and Gravity: The Theory of the Big Bang and Black Holes :

Welche unmittelbaren Informationen gibt uns das Raumzeitintervall? Wenn das Raumzeitintervall zwischen den Ereignissen A und B negativ ist, dann entweder$t_1$oder$t_2$ist negativ. Daraus folgt, dass die Ereignisse A und B zeitlich verwandt sind, wie in Abbildung 12 dargestellt$a$. In diesem Fall ist es möglich, dass ein Trägheitsbeobachter bei beiden Ereignissen A und B anwesend ist. Die verstrichene Zeit, die ein solcher Beobachter zwischen A und B messen würde, ist einfach die Quadratwurzel aus minus dem Raumzeitintervall,$\Delta t=\sqrt{-\text(interval)}$.

Auch aus Raum-Zeit-Intervallen :

Das Intervall wird definiert durch

$$\Delta s^2 = \Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2-(c\Delta t)^2$$

Beachten Sie, dass das Symbol$\Delta s^2$wird normalerweise als fundamentale Größe genommen und nicht als Quadrat einer anderen Größe$\Delta s$.

Und Sean Carroll schreibt in „ Lecture Notes on General Relativity “:

Das Intervall ist definiert als$s^2$, nicht die Quadratwurzel dieser Menge .

Ist das ein theoretischer oder praktischer Grund, warum wir das Raum-Zeit-Intervall durch Quadrieren definieren?

Theoretisch ist das Intervall das Minkowski-Punkt- (innere) Produkt eines Verschiebungs-Vier-Vektors mit sich selbst

die unter der Lorentz-Transformation invariant ist. Dies ist analog zum Längenquadrat des 3-D-Verschiebungsvektors

Das Minkowski-Innerprodukt ist jedoch nicht positiv definit; das Skalarprodukt kann positiv oder negativ sein.

Praktisch bestimmt das Vorzeichen des Intervalls, ob die Viererverschiebung zeitartig oder raumartig ist (das Intervall ist lichtartig, wenn das Intervall null ist).

Wenn das Intervall zeitartig ist, dann ist es die richtige Zeit

Wenn das Intervall raumartig ist, ist der richtige Abstand

oder soll es nur dem Satz von Pythagoras ähneln ...?

Wenn Sie sich Einsteins "Relativität: Die spezielle und allgemeine Theorie" ansehen, werden Sie im Anhang I (kurz vor Gleichung (10)) sehen, dass Einstein tatsächlich mit dem Satz des Pythagoras begonnen hat , um die Intervallgleichung abzuleiten 3D, die er so formulierte:

Auf diese Weise zeigte er den Lichtvektor, der sich in einem dreidimensionalen Raum bewegt.

Dann transformierte er die Gleichung auf verschiedene Weise, aber der Satz des Pythagoras war die Quelle der gesamten Gleichung.

(Und ich habe die Ablehnung erhalten, weil ... ich an die Geschichte erinnert habe? Nun, ich denke, es lohnt sich nicht, die Quellen zu studieren ...)

BEARBEITEN: PyRulez kommentierte darunter: "Dies erklärt nicht wirklich, warum das Raum-Zeit-Intervall quadriert wurde (nur die Entfernungen müssen sein)" .

Brunnen,$x$($\Delta x$) ist eine Distanz,$y$ist eine Distanz,$z$ist ein Abstand und$ct$- wie ich oben gezeigt habe (oder was einfach aus der Tatsache folgt, dass es Geschwindigkeit multipliziert mit Zeit ist) - ist auch eine Entfernung. Wie nennt man nun das Ergebnis der Addition und Subtraktion von Entfernungen (Quadrat)? Einstein nannte es ein „Linienelement“ oder „lineares Element“ und er schrieb in „The Foundation of the General Theory of Relativity“ (S. 119):

"Die Größe des linearen Elements, das sich auf Punkte des vierdimensionalen Kontinuums in unendlicher Nähe bezieht, nennen wir ds".

Wenn wir ein Kontinuum haben und in diesem Kontinuum das addieren/subtrahieren, was wir Distanzen nennen, dann müssen wir als Ergebnis eine Distanz erhalten.

Daraus folgt die kürzeste euklidische Distanz zwischen drei Punkten, nämlich 1,2,3$dist(1,3)=dist(1,2)+dist(2,3)$.

wo$dist(x,y)$ist der Vektor zwischen den Punkten x und y.

Nun wissen wir aus täglicher Erfahrung, dass Raum an sich ohne Zeit euklidisch ist.

Diese Linearitätsbeziehung soll nun auf die Raumzeit übertragen werden. Wieso den ?

Denn wenn es für einen Beobachter drei gleichzeitige Ereignisse gibt, dann muss deren raumzeitlicher Abstand gleich dem euklidischen Abstand sein und folgt damit der Linearitätsbedingung.

Wir erwarten also, dass das Raum-Zeit-Intervall zwischen allen Ereignissen a, b und c ebenfalls der Beziehung folgen muss

$dist^* (a,c)=dist^* (a,b)+dist^* (b,c)$

wo$dist^*$ist der Abstandsvektor des Raum-Zeit-Intervalls.

die nur befolgt wird, wenn die Einheit des Raumintervalls Länge und nicht Länge ist$^2$.

Diese Linearitätsbeziehung erleichtert auch die Mathematik und lässt uns Dinge in der speziellen Relativitätstheorie tun, die den Tagen vor der Relativität ähneln, wie z sie taten es in prärelativen Tagen.

Nun, wenn Sie immer noch alles so gemacht haben, als würden Sie das Momentum definieren$p=$ $m$x (neue Metrik)$/$richtige Zeit und Energie, um Einheiten zu haben$p^2/2m$.

Wo neue Metrik die zu seinde Metrik bezeichnet$\Delta s'$in der Frage.

Sie werden nicht die Beziehungen wie Energieerhaltung, Impulserhaltung in der gleichen mathematischen Form haben, die sie früher in der vorrelativen Mechanik verwendet haben.

Behandeln Sie also entweder die Minkowski-Metrik als Dimensionen$length$oder ändern Sie die Art und Weise, wie Sie Impuls, Energie und alles vor der Relativitätstheorie definiert haben, vollständig, damit Ihre Theorie mit dem Universum übereinstimmt.

Letzteres scheint eine sehr beängstigende Aufgabe zu sein als ersteres. Zusammenfassend : .

Unsere Gleichungen behalten ihre alte mathematische Form vor der Relativität bei, das ist der Hauptgrund, warum wir das Raum-Zeit-Intervall als Längeneinheit annehmen. Auch unsere Entfernung ist immer noch eine Vektorgröße.

Ein Grund unter vielen ist, dass, wenn ein negativer Abstand genauso gut ist wie ein positiver Abstand (dh Sie können einen negativen Abstand mit einer Richtung genauso verwenden wie einen positiven Abstand mit der entgegengesetzten Richtung), dann$s^2$macht diese Tatsache deutlich, denn in der Welt, in der Sie mit Quadraten arbeiten (wie die Gleichung, die Sie gepostet haben), ist eine reale Entfernung mit beiden Vorzeichen genauso gut, weil beide gleich herauskommen.