Wie ist der d'Alembertsche Operator in der Differentialgeometrie definiert?

Welche allgemeine Formel für den Boxoperator ist richtig,$\Box=g^{ij}\partial_i\partial_j$oder$\Box=\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_i(\sqrt{g}g^{ij}\partial_j)$? Ich habe gesehen, dass beide Definitionen verwendet werden, wenn beide unterschiedliche Ergebnisse liefern, z. B. für zweidimensionale Polarkoordinaten, frühere Erträge$\Box=\frac{\partial^2}{\partial r^2}+ \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}$während letzteres nachgibt$\Box=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial}{\partial r})+ \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}$.