Kann man Indizes auf kovariante Derivate und Produkte davon erheben?

Kann folgendes stimmen?

  1. G σ ρ ∇ ρ ∇ μ = ∇ σ ∇ μ

  2. G σ ρ ∇ v ∇ σ = ∇ v ∇ ρ

  3. G σ ρ ∇ v ∇ μ T σ ρ = ∇ v ∇ μ T

Ja, es ist die inhärente Eigenschaft (Definition) des kovarianten Ableitungskonstrukts.
@GrishaKirilin Das stimmt nicht - es funktioniert nur, wenn die kovariante Ableitung in Bezug auf eine metrisch kompatible Verbindung steht.

Antworten (2)

  1. Das ist wahr - in der Tat könnte man definieren ∇ σ = G σ ρ ∇ ρ .

  2. Ich nehme an, das wollte sagen

    G σ ρ ∇ v ∇ σ = ∇ v ∇ ρ .
    Auch dies ist wahr, aber aus einem etwas weniger trivialen Grund als (1). Um dies anhand von (1) zu beweisen, müssen Sie in der Lage sein, umzuschalten G σ ρ mit ∇ v , was Sie tun können, weil eines der Axiome, mit denen wir bei der Definition der kovarianten Ableitung beginnen, darin besteht, dass sie mit der Metrik pendelt (dh die Metrik hat eine verschwindende kovariante Ableitung, sodass ein anderer Term in der Produktregel herausfällt).

  3. Dies gilt auch nach der gleichen Begründung wie in (2).

Um das zu ergänzen, was Chris gesagt hat, kann das Erhöhen und Senken von Indizes mit der Metrik für die Indizes eines beliebigen Tensors durchgeführt werden. Da die kovariante Ableitung eines Tensors ein neuer Tensor mit einem zusätzlichen Index ist, ist die Erhöhung seiner Indizes ein Sonderfall dieser Tatsache.
@joshphysics Das stimmt, aber ich denke, ein bisschen irreführend. Für eine Metrik-inkompatible Verbindung gibt es mehrere nicht gleichwertige gültige Möglichkeiten, die Metrik zum Erhöhen und Verringern von Indizes zu verwenden, und die Notation des OP ist mehrdeutig. Zum Beispiel, wenn F v eine Einsform ist, dann die Notation ∇ μ F μ könnte so interpretiert werden, dass beides gemeint ist G μ v ∇ μ F v oder ∇ μ ( G μ v F v ) = F v ∇ μ G μ v + G μ v ∇ μ F v , die beide gültige (aber unäquivalente) Tensorausdrücke sind.

Eine kleine Subtilität dazu. Wenn dies die allgemeine Relativitätstheorie in ihrer üblichen Formulierung ist, ist dies alles wahr. Bei der kovarianten Ableitung handelt es sich dann um eine Verbindung, die üblicherweise als Levi-Civita- oder Christoffel-Verbindung bekannt ist und aufgrund der Metrik einen einfachen Aufbau hat. Diese kovariante Ableitung pendelt zwar mit der Metrik – im Fachjargon ist sie „metrisch kompatibel“. Es ist jedoch möglich, Verbindungen und zugehörige kovariante Ableitungen zu definieren, die nicht metrisch kompatibel sind. Aber es ist sehr unwahrscheinlich, dass Sie es mit diesen zu tun haben - wenn Sie sich GR ansehen, sind die obigen Kommentare vollkommen korrekt.

Kann man Indizes auf kovariante Derivate und Produkte davon erheben?
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