Unterschied zwischen Matrixdarstellungen von Tensoren und δijδji\delta^{i}_{j} und δijδij\delta_{ij}?

I) Diskutieren wir der Einfachheit halber Tensoren im Kontext von (endlich-dimensionalen) Vektorräumen und multilinearer Algebra . [Es gibt eine einfache Verallgemeinerung auf Mannigfaltigkeiten und Differentialgeometrie .]

II) Abstrakt in koordinatenfreier Notation ist der Kronecker-Delta-Tensor oder die Tensorkontraktion die natürliche Paarung

zwischen ein$\mathbb{F}$-Vektorraum$V$und sein dualer Vektorraum $V^{*}$.

III) Wenn wir eine Basis wählen$(e_i)_{i\in I}$zum$V$, gibt es eine doppelte Basis $(e^{j*})_{j\in I}$zum$V^{*}$so dass

[Hier unterscheiden wir zwischen kovarianten und kontravarianten Indizes .] Dann für einen Vektor$v=\sum_{i\in I} v^i e_i\in V$und ein Covektor$f=\sum_{j\in I} f_j e^{j*}\in V^{*}$, die Kontraktionskarte (1) ist

Mit anderen Worten,$\delta^j_i$ist die Matrixdarstellung für die$\delta$Kontraktionskarte (1). Interessant ist, dass die Matrixdarstellung unabhängig von der Wahl der Basis ist$(e_i)_{i\in I}$zum$V$, solange wir die entsprechende duale Basis für wählen$V^{*}$auf natürliche Weise. Das sagen wir oft$\delta^j_i$als Tensor transformiert oder ein Tensor ist.

IV) Und jetzt$\delta_{ij}$mit niedrigeren Indizes? Nun, zuerst müssen wir eine symmetrische bilineare Form oder Metrik einführen,

Wenn wir eine Basis wählen$(e_i)_{i\in I}$zum$V$, dann können wir schreiben

Oft wählen wir eine Metrik, die auf einer bestimmten Basis die Einheitsmatrix ist

Wählen wir nun eine andere Basis als die Matrixdarstellung$g_{ij}$denn die Metrik (4) wird sich im Allgemeinen ändern. Es wird im Allgemeinen nicht mehr die Einheitsmatrix sein$\delta_{ij}$. Das sagen wir$\delta_{ij}$wandelt sich nicht als Tensor unter allgemeiner Änderung von Basen/Koordinaten um.

Kurzgesagt,$\delta_{ij}$mit niedrigeren Indizes signalisiert implizit das Vorhandensein einer Metrik (4), oder mit anderen Worten, eine Vorstellung von einer Längenskala im Vektorraum$V$. Es ist wichtig zu erkennen, dass die Wahl einer Metrik (4) in$V$ist eine nicht-kanonische Wahl.

V) Allerdings, sobald wir eine Metrik erhalten$g$, ist es natürlich, Änderungen von Basen/Koordinaten zu untersuchen, die diese Metrik beibehalten$g$. Diese entsprechen orthogonalen Transformationen und$\delta_{ij}$verhält sich unter solchen orthogonalen Transformationen wie ein kovarianter Tensor.

tl;dr

Alle$\delta^{ij}$,$\delta_{ij}$,$\delta^i\,_j$,$\delta_i\,^j$sind unterschiedlich, es sei denn, Sie arbeiten mit kartesischen Tensoren (Tensoren auf einem euklidischen Raum, dargestellt in kartesischen Koordinaten). Bei kartesischen Tensoren haben sie alle die gleichen Werte, obwohl sie technisch unterschiedliche Dinge bedeuten. Im allgemeinen Fall$\delta^i\,_j$,$\delta_i\,^j$geben Ihnen immer noch die Identitätsmatrix, aber$\delta_{ij} = \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j$was nur die Identitätsmatrix für eine orthonormale Basis liefert und$\delta^{ij}$ist die Matrix-Inverse von$\delta_{ij}$($\delta$ist wirklich der metrische Tensor).

schimpfen

Es ist eine schlechte Idee, die Tensorrechnung zu lehren/lernen, indem man mit kartesischen Tensoren beginnt, was ich in Ihrem Buch vermute, gerade weil die Hauptmerkmale der Tensorrechnung in dieser Umgebung trivial werden. Die Tensorrechnung ist für die Arbeit mit gekrümmten Räumen und/oder krummlinigen Koordinaten ausgelegt. Hier leistet die zusätzliche Maschinerie des Tensorkalküls echte Arbeit. Auch die Tensorrechnung ist in erster Linie für den Umgang mit Feldern konzipiert: In der Tensorrechnung ist ein "Vektor" normalerweise ein Vektorfeld und ähnlich für "Tensor".

Um die Motivation hinter der Tensorrechnung zu verstehen, ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass die übliche Definition eines Vektorraums kein inneres Produkt enthält. Innere Produkte sind zusätzliche Strukturen, und verschiedene innere Produkte können auf demselben zugrunde liegenden Vektorraum definiert werden. Dies hilft, den Unterschied zwischen einem Vektorraum und seinem Dual zu erkennen, der ansonsten trivial erscheinen kann. Auch wenn ein inneres Produkt definiert ist, gilt die übliche Komponentenproduktformel dafür nur in Basen, die in Bezug auf das Produkt orthonormal sind.

Nur in der allgemeinen Umgebung wird ein expliziter metrischer Tensor wirklich benötigt und es gibt einen wirklichen Unterschied zwischen kontravarianten und kovarianten Vektorkomponenten.

Ich empfehle Kapitel 14 von Penroses Road to Reality für eine konzeptionelle Erklärung von Tensoren.

Diese Kronecker-Symbole haben, wie Sie sagten, dieselben Matrixdarstellungen, nur die Einheitsmatrix. Die Indizes werden entsprechend der Einstein-Summierungskonvention ( http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_notation ) an oberen oder unteren Positionen platziert. Sie werden immer zusammen mit kovarianten und kontravarianten Vektoren ( http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors ) in krummlinigen Koordinatensystemen verwendet. Ich habe diese Dinge im Kontext der elektromagnetischen Theorie gelernt. Wenn Sie auch mit elektromagnetischer Theorie vertraut sind, empfehle ich die Abschnitte 1.14 - 1.17 in dem Buch Electromagnetic Theory von Stratton. Da findest du eine ganz klare Erklärung.

Normalerweise das Symbol$\delta_{ij}$wird für die Delta-Kronecker-Funktion verwendet, während$\delta_{i}^{j}$ist ein$(1,1)$Tensor. Ist auf Wikipedia gut beschrieben: http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_delta

Manchmal ist die Verwendung irreführend. Zum Beispiel für die Pauli-Matrizen:$[\sigma_a, \sigma_b]_{+} = 2 \delta_{a b}$, aber genauer muss man schreiben$[\sigma_a, \sigma_b]_{+} = 2 \delta_{a b}\,\mathbb{I}_{2}$. Jedenfalls ist die Antwort von Pu Zhang richtig.