Was sind die genauen Axiome, um den metrischen Minkowski-Tensor eindeutig als bilineare Karte zu definieren?

Bis auf Isomorphismen ist die Minkowski-Raumzeit ein echter vierdimensionaler affiner Raum$M^4$ausgestattet mit einem Lorentzschen Skalarprodukt$g$im Vektorraum$V^4$von Übersetzungen des affinen Raums.

Wenn$V$ein reeller vierdimensionaler Vektorraum ist, ist ein Lorentz-Skalarprodukt eine symmetrische bilineare Abbildung$g: V\times V\to \mathbb{R}$dessen kanonische Form Sylvester ist$\text{diag}(-1,+1,+1,+1)$.

Gegeben sei ein reeller vierdimensionaler Vektorraum$V$und eine Vektorbasis$e_1,e_2,e_3,e_4$, gibt es ein eindeutiges Lorentz-Skalarprodukt, dessen Matrixdarstellung auf dieser Basis ist$\text{diag}(-1,+1,+1,+1)$.

Um ein Lorentzsches Skalarprodukt eindeutig festzulegen, reicht es daher aus, eine Basis herauszugreifen und zu erklären, dass das Skalarprodukt in dieser Basis die kanonische Form hat.

Wenn Sie andererseits ein Lorentz-Skalarprodukt haben, gibt es wie oben unendlich viele Basen. Diese speziellen Basen sind durch die Transformationen der Lorentz-Gruppe miteinander verwandt. (Das ist die Definition der Lorentz-Gruppe.)

Lassen$p$sei ein Punkt in der Mannigfaltigkeit. Mittels Koordinatentransformationen kann jeder Lorentzsche Metriktensor in die Form gebracht werden$\text{diag}(-+++)$bei$p$per Definition. Daher reichen Ihre Axiome nicht aus, um die Minkowski-Metrik zu definieren.

Die Bezugnahme auf die Komponenten des Tensors funktioniert nicht, da sie sich zwischen verschiedenen Koordinatensystemen stark ändern. Beispielsweise kann in Kugelkoordinaten dieselbe Minkowski-Metrik geschrieben werden als$\text{diag}(-1, 1, r^2, r^2 \sin^2\theta)$. Stattdessen müssen wir eine Definition bereitstellen, die koordinateninvariant ist, sodass sie unabhängig von dem bestimmten Koordinatensystem gilt, mit dem wir arbeiten möchten.

Eine Eigenschaft, die nur die Minkowski-Metrik erfüllt, ist, dass sie die flache Metrik ist, dh der mit ihrer Levi-Civita-Verbindung verbundene Riemann-Tensor verschwindet. Diese Eigenschaft, wenn sie zu den von Ihnen erwähnten hinzugefügt wird, charakterisiert die Minkowski-Metrik einzigartig.

Kurz gesagt, die Minkowski-Metrik ist die einzige flache Lorentz-Metrik. Beachten Sie, dass dies nicht ausreicht, um die gesamte Mannigfaltigkeit als Minkowski-Raumzeit zu charakterisieren: Die Minkowski-Raumzeit ist topologisch$\mathbb{R}^4$, aber man kann zum Beispiel eine flache Raumzeit mit einer Vier-Torus-Topologie haben (der Raum sieht nämlich aus wie Pacmans Welt, in der Sie an einem Ende hinausgehen und durch die andere Seite zurückkommen, und dasselbe gilt für die Zeit).

Gegeben sei eine nicht entartete, symmetrische, bilineare Form über dem Tangentialraum, ausgedrückt als$g_{μν} = g(∂_μ, ∂_ν)$, oder äquivalent als Tensor$g = g_{μν} dx^μ ⊗ dx^ν$(Summierungskonvention verwendet), wo$\{x^μ: μ = 0, 1, ..., N\}$sind die Koordinaten (zumindest lokal) und$∂_μ = ∂/∂x^μ$die partiellen Differentialoperatoren sind, aus denen der Tangentenrahmen besteht, die folgenden zusätzlichen Bedingungen auferlegen, ausgedrückt in Form der Lie-Ableitungen$ℒ_X$bestimmter Vektorfelder$X$:

(1) Homogenität:$ℒ_{∂_ρ} g = 0$, für alle$ρ = 0, 1, ..., N$,

(2) N+1-Isotropie:$ℒ_{x_σ ∂_ρ - x_ρ ∂_σ} g = 0$, für alle$ρ, σ = 0, 1, ..., N$(ohne Verlust der Allgemeinheit können Sie nehmen$ρ ≠ σ$oder auch$ρ < σ$); Wo$x_0 = x^0$Und$x_i = -x^i$, für$i = 1, 2, ..., N$. Das gibt Ihnen eine echte räumliche Isotropie in Bezug auf die raumähnlichen Dimensionen$1, 2, ..., N$und Nichtbeschleunigung (in Ermangelung eines besseren Begriffs) in Bezug auf die gemischten Kombinationen der zeitähnlichen Dimension$0$mit jeder der räumlichen Dimensionen.

Dann ist die Metrik eine Minkowski-Metrik (bis zu einem konstanten Vielfachen ungleich Null), wenn$N > 1$.

(Die Minkowski-Metrik$η = η_{ρσ} dx^ρ ⊗ dx^σ$wird als konstante Diagonalmatrix in die Bedingungen eingeschmuggelt$(+1,-1,-1,-1)$von Koeffizienten in$x_ρ = η_{ρσ} x^σ$. Es gibt kein Entrinnen$η$.)

Für$N = 3$und 3 + 1 Dimensionen, die 10 Lügenvektoren, in 3D-Vektornotation sind:

$${∂ \over ∂t},$$ $$∇ = \left({∂ \over ∂x}, {∂ \over ∂y}, {∂ \over ∂z}\right),$$ $$𝐫×∇ = \left(y {∂ \over ∂z} - z {∂ \over ∂y}, z {∂ \over ∂x} - x {∂ \over ∂z}, x {∂ \over ∂y} - y {∂ \over ∂x}\right),$$ $$t∇ + 𝐫 {∂ \over ∂t} = \left(t {∂ \over ∂x} + x {∂ \over ∂t}, t {∂ \over ∂y} + y {∂ \over ∂t}, t {∂ \over ∂z} + z {∂ \over ∂t}\right),$$ Wo$t = x^0$Und$𝐫 = \left(x, y, z\right) = \left(x^1, x^2, x^3\right)$. Die vier Sätze von Lie-Vektoren sind jeweils für Stationarität , Räumliche Homogenität , Räumliche Isotropie und Nichtbeschleunigung . Die Metrik soll stationär, räumlich homogen, isotrop und nicht beschleunigend sein (mangels eines besseren Begriffs).

Zuerst machen wir (1). Seit

$$ℒ_{∂_ρ} dx^μ = ∂_ρ ˩ ddx^μ + d(∂_ρ ˩ dx^μ) = ∂_μ ˩ 0 + d(δ_ρ^μ) = 0,$$ Und$ℒ_{∂_ρ} g_{μν} = ∂_ρ g_{μν}$, und verwenden Sie dann die Produktregel für$ℒ_{∂_ρ}$, wir haben: $$0 = ℒ_{∂_ρ} g_{μν} dx^μ ⊗ dx^ν = \left(∂_ρ g_{μν}\right) dx^μ ⊗ dx^ν + g_{μν} (0) ⊗ dx^ν + dx^μ ⊗ (0) = ∂_ρ g_{μν} dx^μ ⊗ dx^ν,$$ woraus folgt$∂_ρ g_{μν} = 0$oder dass die Komponenten$g_{μν}$sind alle konstant.

Zweitens machen wir (2). Allgemein

$$ℒ_X dx^μ = X ˩ ddx^μ + d(X ˩ dx^μ) = ∂_μ ˩ 0 + dX^μ = dX^μ,$$ so für$X = x_σ ∂_ρ - x_ρ ∂_σ$, wir haben$X^μ = x_σ δ_ρ^μ - x_ρ δ_σ^μ$und somit: $$ℒ_{x_σ ∂_ρ - x_ρ ∂_σ} dx^μ = d\left(x_σ δ_ρ^μ - x_ρ δ_σ^μ\right) = δ_ρ^μ dx_σ - δ_σ^μ dx_ρ.$$ Auch da die Komponenten$g_{μν}$konstant sind, dann haben wir$ℒ_X g_{μν} = X^ρ ∂_ρ g_{μν} = 0$, egal was$X$Ist. Unter erneuter Verwendung der Produktregel haben wir also: $$0 = ℒ_{x_σ ∂_ρ - x_ρ ∂_σ} g = (0) dx^μ ⊗ dx^ν + g_{μν} \left(δ_ρ^μ dx_σ - δ_σ^μ dx_ρ\right) ⊗ dx^ν + g_{μν} dx^μ ⊗ \left(δ_ρ^ν dx_σ - δ_σ^ν dx_ρ\right),$$ oder $$0 = g_{ρν} dx_σ ⊗ dx^ν - g_{σν} dx_ρ ⊗ dx^ν + g_{μρ} dx^μ ⊗ dx_σ - g_{μσ} dx^μ ⊗ dx_ρ,$$ oder komponentenweise unter Verwendung der Symmetrie von$η$und (angenommene) Symmetrie von$g$Indizes tauschen: $$0 = g_{νρ} η_{μσ} - g_{νσ} η_{μρ} + g_{μρ} η_{νσ} - g_{μσ} η_{νρ}.$$

Diese Bedingung ist trivial, falls$ρ = σ$oder$μ = ν$; besonders wenn$N = 0$. Wenn$N = 1$, dann könnten wir ohne Verlust der Allgemeinheit nehmen$(ρ,σ) = (0,1) = (μ,ν)$und schreibe

$$0 = g_{10} (0) - g_{11} (-1) + g_{00} (+1) - g_{01} (0) = g_{00} + g_{11}.$$ Das ist das Beste, was Sie tun können. Die Metrik bildet eine Konstante symmetrisch spurfrei$2×2$Matrix.

Wenn$N > 1$, wählen Sie eine aus$μ$,$ρ ≠ μ$Und$σ = ν ≠ μ, ρ$. Dann haben wir:

$$0 = g_{νρ} (0) - g_{νσ} (0) + g_{μρ} η_{νσ} - g_{μσ} (0) = ±g_{μρ}.$$ Daher,$g_{μρ} ≠ 0$für$ρ ≠ μ$Und$g$bildet eine Diagonalmatrix. Wählen Sie als Nächstes eine beliebige aus$ρ = μ$Und$σ = ν ≠ μ, ρ$. Dann haben wir: $$0 = g_{νρ} (0) - g_{νσ} η_{μρ} + g_{μρ} η_{νσ} - g_{μσ} (0) = -g_{νσ} η_{μρ} + g_{μρ} η_{νσ}.$$ Daraus folgt das$g_{μρ}/η_{μp} = g_{νσ}/η_{νσ}$. Deshalb,$g$ein konstantes Vielfaches der Minkowski-Metrik ist$η$. Seit$g$als nicht entartet angenommen wird, muss das konstante Vielfache ungleich Null sein. Andernfalls, wenn es entartet ist, ist das konstante Vielfache 0, und dann$g$muss 0 und total degeneriert sein.

Ja, das reicht.

Um pedantisch zu sein, eine Metrik hat jedoch immer eine positive eindeutige Signatur, auch bekannt als (+,+,+, ..,+), während eine Halbmetrik eine beliebige Signatur haben kann. Eine Mannigfaltigkeit mit einer Metrik wird als Riemannsche Mannigfaltigkeit bezeichnet, während eine Mannigfaltigkeit mit einer Halbmetrik als Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit bezeichnet wird. Oft wird der Qualifier „Pseudo“ anstelle von „Semi“ verwendet, aber ich ziehe es vor, das nicht zu verwenden, da das herkömmliche Verständnis von Pseudo falsch oder falsch bedeutet. Eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit ist eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Signatur (-+++...+) oder (+----...-) und das ist es, wonach Sie suchen. Der Minkowski-Raum ist einfach eine flache 4d Lorentz-Mannigfaltigkeit.