Was ist in der flachen Raumzeit die gemischte (invariante?) Form des metrischen Tensors?

Im flachen Raum ist der metrische Tensor (in einer der beiden Konventionen)

$$\eta^\mu{} ^\nu = \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix} = \eta_\mu{}_\nu$$ Was ist $\eta^\mu{}_\nu$oder $\eta_\mu{}^\nu$? Ich habe hier gelesen , dass es genauso war! Aber wenn wir den metrischen Tensor verwenden, um kovariante Komponenten und kontravariante Komponenten umzuwandeln, scheint die Antwort die Identitätsmatrix zu sein.

Wenn wir die Definition der Metrik als die Koeffizienten eines infitesimalen Bogenlängenelements verwenden$ds^2$, ich denke, dies zeigt auch, dass die Antwort die Identitätsmatrix sein sollte.

Kann jemand erklären (auf einfache Weise für jemanden, der nicht viel über Differentialgeometrie weiß), wie man die richtige Antwort erhält, was auch immer es ist? Am besten mit einer Antwort, die sich nicht nur auf die auswendig gelernten Regeln der Einstein-Indexnotation verlässt.