Beweis der Beziehung d4ξ=|g|−−√d4xd4ξ=|g|d4xd^4 \xi = \sqrt{|g|} \,\, d^4x Wechsel zwischen lokalen und nicht-trägen Koordinaten

Sie haben das in Analysis für eine Variablenänderung gelernt$x\longrightarrow \bar x$wir haben

$$d^nx=J\,d^n\bar{x}$$ Wo $$J=\left|\frac{\partial x}{\partial \bar{x}}\right|$$ Sehen Sie sich das Transformationsgesetz für die Metrik unter derselben Koordinatentransformation an: $$\bar{g}(\bar{x})=\left(\frac{\partial x}{\partial \bar{x}}\right)^Tg(x)\left(\frac{\partial x}{\partial \bar{x}}\right)$$ Wenn wir die Determinante nehmen, erhalten wir $$\bar{g}=gJ^2$$ Dann $$\sqrt{g}d^nx=J\sqrt{g}d^n\bar x=J\sqrt{\frac{\bar{g}}{J^2}}d^n\bar x=\sqrt{\bar{g}}d^n\bar x$$ Für ein flaches System haben wir $g=-1$. Fügen Sie ein Negativ ein, um die Wurzel(n) gut definiert zu machen. Daher $$d^n\xi=\sqrt{-g}d^nx$$

EDIT: Lassen Sie die Komponenten der Metrik sein$g_{ij}$.Die übliche Transformationsregel für einen (0,2)-Tensor lautet

$$\bar{g}_{ij}(\bar x)=g_{mn}(x)\frac{\partial x^m}{\partial\bar x^i}\frac{\partial x^n}{\partial\bar x^j}$$ Bezeichne die Matrix mit Komponenten $\partial x^m/\partial\bar x^i$von $K$.Dann $\bar{g}=K^T gK$. Wir müssen eine Transponierung verwenden, weil $\partial x^m/\partial\bar x^i=K_{mi}$. Daher $$(K^TgK)_{ij}=(K^T)_{im}g_{mn}K_{nj}=g_{mn}K_{mi}N_{ni}=g_{mn}\frac{\partial x^m}{\partial\bar x^i}\frac{\partial x^n}{\partial\bar x^j}=\bar{g}_{ij}$$ Ich habe der Indexplatzierung nicht viel Aufmerksamkeit geschenkt.