Kontravariante/kovariante Vektoren oder Komponenten?

Ich habe es nur geschafft, diese Dinge in meinem Kopf nach Halmos und Greub zu sortieren

Lassen Sie uns zuerst über abstrakte Vektoren sprechen. Definieren wir die kontravarianten Vektoren als die "üblichen" Vektoren:

$$\mathbf{V}=V^i\,\mathbf{e}_i\in \mathcal{V}$$

Wo$\mathbf{V}$ist ein Vektor,$V^i$sind die Komponenten, und$\{\mathbf{e}_i\}_{i=1\dots N}$ist die Basis für diesen N-dimensionalen Vektorraum$\mathcal{V}$(hier geht es nur um endlichdimensionale Vektorräume).

Sobald Sie diese Struktur haben, werden Sie feststellen, dass wir sie selten direkt auf die reale Welt anwenden können, weil wir normalerweise Skalare und keine Vektoren messen können. Die Messung mehrerer Skalare kann zu einem Vektor führen, dies ist jedoch kein einstufiger Prozess.

Was wir also brauchen, sind Möglichkeiten, Vektoren auf Skalare zu reduzieren (vorerst reellwertig). Diese nennen wir Funktionale:

$$\mathbf{u}:\mathcal{V}\to\mathbb{R}$$

Eine besondere Klasse unter diesen Funktionalen sind die linearen homogenen Funktionale. Nennen wir den Raum solcher Funktionale$\mathcal{V}^*$. Also wenn$\mathbf{u}\in \mathcal{V}^*$, Und$\mathbf{v},\,\mathbf{w}\in \mathcal{V}$Und$\alpha,\beta\in \mathbb{R}$

$$\begin{align} \mathbf{u}:\mathcal{V}\to\mathbb{R}\\ \mathbf{u}\left(\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w}\right)=\alpha\cdot\mathbf{u}\left(\mathbf{v}\right)+\beta\cdot\mathbf{u}\left(\mathbf{w}\right) \\ \mathbf{u}\left(\mathbf{0}\right)=0 \end{align}$$

Ein Beispiel für eine solche Funktion wäre$\mathbf{u}$das gibt einfach die 'x-Komponente' eines beliebigen ihm gegebenen Vektors zurück.

Wir können dann fragen, wie wir die möglichen Mitglieder von systematisch untersuchen können$\mathcal{V}^*$. Wir werden dann feststellen, dass es nur darauf ankommt, welche Zahlen den Basisvektoren von zugeordnet sind$\mathcal{V}$. Grundsätzlich definieren wir einen folgenden Satz von Funktionen:

$$\mathbf{q}^j\left(\mathbf{e}_i\right)=\begin{cases} 1,\quad i=j\\ 0,\quad otherwise \end{cases}=\delta^j_i$$

Und dann irgendwelche$\mathbf{u}\in\mathcal{V}^*$kann ausgedrückt werden als:

$$\mathbf{u}=u_i\mathbf{q}^i$$

Also das für alle$\mathbf{v}=v^i\mathbf{e}_i$In$\mathcal{V}$:

$$\mathbf{u}\left(\mathbf{v}\right)=u_j \mathbf{q}^j\left(v^i\mathbf{e}_i\right)=u_jv^i \mathbf{q}^j\left(\mathbf{e}_i\right)=u_iv^i$$

Im Wesentlichen$\mathcal{V}^*$ist selbst ein Vektorraum mit Basis$\{\mathbf{q}^j\}_{j=1\dots N}$, die durch induziert wird$\mathcal{V}$. Dies nennen wir den dualen Raum. Das sind Ihre kovarianten Vektoren.

Deshalb sind kovariante und kontravariante Vektoren unterschiedlich, erstere sind lineare Funktionen der letzteren (und umgekehrt).

Ein Nicht-GR-Beispiel, bei dem die Unterscheidung zwischen ko- und kontravarianten Vektoren wichtig wird, ist die Kristallographie. Normalerweise richtet man die Basisvektoren mit der Kristallachse aus, und kovariante Vektoren befinden sich dann im reziproken Raum .

Wir können oft so tun, als sei der duale Raum derselbe wie der ursprüngliche Vektorraum, weil die beiden isomorph sind (für endliche Vektorräume), daher kommt die Verwirrung.

Frage 1 : Nein, Vektoren können zum kontravarianten Vektorraum gehören, wenn sie zum kovarianten Vektorraum gehören, ist es eine lineare Funktion. Allerdings können Dinge wie direkte Summen und Tensorprodukte verwendet werden, um neue Vektorräume zu erstellen:$\mathcal{V}\oplus\mathcal{V}^*$Und$\mathcal{V}\otimes\mathcal{V}^*$- da wird es kompliziert.

Frage 3 : Ja. Dies liegt in der Definition eines Vektorraums. Jede Linearkombination von Vektoren im Raum gehört zum Raum

Schließlich sprechen Sie über ein Objekt$g_{ij}$. Bei geeigneten Eigenschaften erstellt es eine Karte$\mathcal{V}\to\mathcal{V}^*$. Obwohl ich nie mit Vektorräumen gearbeitet habe, in denen eine solche Karte nicht definiert werden kann, sehe ich keinen Grund dafür, dass sie immer vorhanden ist, und keinen Grund dafür, dass sie eindeutig ist. Also behandeln$g_{ij}$als Zusatz. Daher kein Widerspruch.$\mathcal{V}$Und$\mathcal{V}^*$sind isomorph, aber für endliche Vektorräume verschieden, daher kann man einen Isomorphismus definieren$g:\mathcal{V}\to\mathcal{V}^*$zwischen ihnen.

PS: Bei Mannigfaltigkeiten konstruiert man an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit einen Vektorraum aus partiellen Ableitungen, also sind Vektoren definiert als$V=v^i\partial_i$. Dies ist der Tangentenvektorraum. Der duale Raum dazu ist der Raum der Differentialformen , der wiederum an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit definiert ist.

$$\mathbf{v} = q_i \mathbf{e^i} = q^i \mathbf{e_i}$$

Autsch! Die Basisvektoren$\mathbf{e_i}$Und$\mathbf{e^i}$gehören zu verschiedenen Vektorräumen, nämlich einem Vektorraum und seinem Dual. Die Verwendung eines Gleichheitszeichens ist in diesem Zusammenhang einfach falsch! Ein Vektorraum und sein Dual sind mathematisch unterschiedliche Objekte, aber gleich bedeutet, dass sie mathematisch gleich sind, was falsch ist. Ich habe das in meiner Antwort auf die verknüpfte Frage gesagt

Wir neigen dazu, uns die kontravarianten und kovarianten Vektoren als unterschiedliche Beschreibungen desselben Vektors vorzustellen

aber formal sind sie in der Mathematik verschiedene Objekte. Es kommt also darauf an. Möchten Sie einen informellen, intuitiven Begriff, der für die meisten praktischen Zwecke in Ordnung ist, in diesem Fall können Sie sich kontravariante und kovariante Vektoren als unterschiedliche Beschreibungen desselben Objekts vorstellen, oder suchen Sie nach einer mathematisch strengen und präzisen Aussage, die dies tut führt Sie nie zu dem Widerspruch, zu dem Sie kommen? Wenn letzteres der Fall ist, müssen Sie den Vektorraum getrennt von seinem dualen Raum behandeln und sich an eine mathematisch strenge Sprache halten.