ei=gijejei=gijej \mathbf{e}^i = g^{ij} \mathbf{e}_j Interpretation

Question

ei=gijejei=gijej \mathbf{e}^i = g^{ij} \mathbf{e}_j Interpretation

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Ich habe Probleme bei der Interpretation des Ausdrucks:

e^{ich} = G^{ich J} e_{J}

$\mathbf{e}^i = g^{ij} \mathbf{e}_j$

die zum Beispiel in diesem Wiki-Kapitel zu finden sind . Auch hier .

Schritt für Schritt meiner fehlerhaften Logik:

Die Elemente des Ausdrucks sind ein Vektor $\mathbf{e}_i$ Zugehörigkeit zur Basis des Tangentialraums; $\mathbf{e}^i$ der Basis des Kotangensraums; und der metrische Tensor $g$ .
Seit $\mathbf{e}_i$ ein Vektor der Basis des Tangentialraums ist, ist es ein kontravarianter Vektor.
Seit $\mathbf{e}_i$ ein kontravarianter Vektor ist, kann er in Indexnotation als ausgedrückt werden $e^\alpha_{\;i}$ .
Durch übliches Absenken/Anheben des Index $g^{ij}e^\alpha_{\;j} = e^{\alpha\,i}$
Durch Parallelität zwischen anfänglichem Ausdruck $\mathbf{e}^i = g^{ij} \mathbf{e}_j$ und vorherige $e^{\alpha\;i}=g^{ij}e^\alpha_j$ , Ich kann das sagen $\mathbf{e}^i$ entspricht $e^{\alpha\,i}$
Seit $\mathbf{e}^i$ Vektor wird ausgedrückt als $e^{\alpha\,i}$ , es ist ein kontravarianter Vektor.
Aber $\mathbf{e}^i$ kann nicht kontravariant sein, weil es ein Vektor der Basis des Kotangensraums ist. Widerspruch.

Nicht gefunden, wo der Fehler in der vorherigen Sequenz ist, alle Schritte scheinen einfach und wahr zu sein.

Nachtrag:

Ein anderer Weg, um denselben Widerspruch zu erreichen:

1b. Die Menge aller Vektoren, die die Basis des Tangentialraums bilden $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots\}$ wird in Indexform ausgedrückt als $e^\alpha_{\;i}$ .

2b. $e^\alpha_{\;i}$ drückt den gesamten Satz von Basisvektoren des Tangentialraums aus. $e^\alpha_{\;i}$ ist ein Tensor mit zwei Indizes, $\alpha$ Kontravariante (bezogen auf die Raumkomponenten) und $i$ kovariant (bezogen auf den Index im Basissatz).

3b. $g^{ij}$ ist ein Tensor, der bei zwei kovarianten Tensoren einen Skalar erzeugt. Mit anderen Worten, erzeugt ein gegebener kovarianter Vektor/Tensor einen kontravarianten Vektor/Tensor. Oder, allgemeiner, Abbildungen von einem (n+m)-Tensor mit n kontravarianten und m kovarianten auf einen anderen (n+m)-Tensor mit (n+1) kontravarianten und (m-1) kovarianten.

4b. Bewirbt sich $g^{ij}$ über $e^\alpha_{\;j}$ wir kartieren die $j$ kovariante Dimension von $e$ zu kontravariant, wobei ein Tensor zweimal kontravariant erhalten wird $e^{\alpha\;i}$

5b. Seit $e^{\alpha\;i}$ zwei kontravariante Indizes hat, kann es nicht die Menge der Basisvektoren des Kotangensraums sein. Die Basis des Kotangensraums wird in der Form erwartet $e_\alpha^{\;i}$ .

Kryo

g^{i j}

$g^{ij}$ ist eine Abbildung vom Raum der Vektoren zum Raum der Funktionale. Da die beiden Räume normalerweise isomorph sind, kann man für endlichdimensionale Vektorräume isomorphe Karten haben. Also kein Widerspruch, siehe physical.stackexchange.com/q/603251

Kryo

Allerdings ist die Notation, mit der Sie beginnen, etwas irreführend, ja

pasaba por aqui

@Cryo: Danke für deine Kommentare. Können Sie in der Liste der Schritte sagen, welche fehlerhaft sind?

Kryo

Ich würde es nicht als fehlerhaft bezeichnen, aber 4. Das Erhöhen/Senken von Indizes ist keine triviale Summierung, es ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. Die Zuordnung ist nicht eindeutig und möglicherweise nicht einmal definiert (singuläre Metrik). Vielleicht wäre es einfacher zu sehen, wie man es sorgfältiger machen kann, wenn Sie ein Beispiel für eine echte Berechnung geben würden, die Sie durchführen möchten. Ich würde die Metrik als Skalarprodukt zwischen Vektoren oder Co-Vektoren definieren und sie dann verwenden, um eine Karte zwischen zwei Räumen zu induzieren

Kryo

Ich meinte 4-5, mehr 5

Nemo

Ich scheine nicht zu verstehen, wie Sie Nummer 3 rechtfertigen können, da dies im Grunde das Schreiben von e als Tensor mit kovariantem Alpha und kontravariantem i ist

Kryo

Sie versuchen immer wieder, Basisvektoren auf Komponenten zu reduzieren, aber Sie können dies nicht tun, die Komponenten sind Skalare, die Basis besteht aus Vektoren, und um Vektoren auf Skalare zu reduzieren, benötigen Sie per Definition Funktionale. Sie fahren fort, Funktionale implizit aufzurufen, und gelangen dann zu einem „Widerspruch“.

pasaba por aqui

@IronicalCoffee: "i" ist der Index, der bereits im diskutierten Ausdruck vorhanden ist

e_{i}

$\mathbf{e}_i$ Und

α

$\alpha$ ist der Index, der verwendet wird, um die Raumkomponente zu identifizieren (sagen wir

α \in {t, x, y, z,}

$\alpha \in \{ t, x, y, z, \}$ zum Beispiel).

α

$\alpha$ kontravariant sein, da diese Vektoren die Basis des Tangentialraums sind. Damit wird die Menge aller Vektoren der Tangentenbasis zu einem 2-Tensor

e_{i}^{α}

$e^{\alpha}_i$ mit einer kontravarianten Dimension und einer Kovariante.

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@Kyro:

e_{i}

$\mathbf{e}_i$ sa-Vektor (beachten Sie das fette "e"). Als Vektor hat es Komponenten

e_{i} = (e_{i}^{t}, e_{i}^{x}, e_{i}^{y}, e_{i}^{z})

$\mathbf{e}_i=(e^t_i,e^x_i,e^y_i,e^z_i)$ (Beispiel). Ich kann das in Indexnotation ausdrücken als

e_{i}^{α}

$e^{\alpha}_i$ . Keine Reduktion von Vektoren auf Skalare, sondern die übliche Indexschreibweise.

pglpm

@pasabaporaqui Vertraue Wikipedia in der Regel nicht zu sehr. Denken Sie daran, dass das, was dort geschrieben steht, möglicherweise nicht das Ergebnis einer Zustimmung ist, sondern nur der Beharrlichkeit eines bestimmten Benutzers – der möglicherweise völlig falsch liegt. Ich habe mehrere falsche Aussagen in Wikipedia gefunden. Es ist vielleicht gut, sich einen allgemeinen Überblick zu verschaffen, aber überprüfen Sie zumindest die Referenzen.

pglpm

@pasabaporaqui Das heißt, der anfängliche Ausdruck, den Sie schreiben, ist keine Erhöhung der Indizes. Das Erhöhen/Senken von Indizes wirkt sich auf Tensor- Indizes aus, aber die "

i

$i$ " In

e e_{i}

$\pmb{e}_i$ ist nur ein Etikett ; wie Schouten es ausdrücken würde, es ist "Teil des typografischen Symbols

e e

$\pmb{e}$ ". Um ehrlich zu sein, mag ich diesen Ausdruck überhaupt nicht, er ist sehr irreführend. Es wird keine Metrik benötigt, um eine reziproke Basis zu definieren. Wenn wir diese Formel in Koordinaten entwickeln, würden wir sehen, dass "

g

$g$ " verschwindet ganz. Zu Ihrem Punkt 6.,

e e^{i}

$\pmb{e}^i$ sind kovariante Vektoren mit Komponenten

{e^{i}}_{α}

${e^i}_\alpha$ .

pasaba por aqui

@pglpm: "i" kommt normalerweise von

e_{i} = \frac{φ (\dots)}{\partial x^{i}}

$\mathbf{e}_i=\frac{\varphi(\dots)}{\partial x^i}$ . Ich denke, dieser Ausdruck gibt "i" seine Eigenschaft als kovarianten Index.

Antworten (1)

ei=gijejei=gijej \mathbf{e}^i = g^{ij} \mathbf{e}_j Interpretation

$g^{ij}$ ist eine Abbildung vom Raum der Vektoren zum Raum der Funktionale. Da die beiden Räume normalerweise isomorph sind, kann man für endlichdimensionale Vektorräume isomorphe Karten haben. Also kein Widerspruch, siehe physical.stackexchange.com/q/603251
Allerdings ist die Notation, mit der Sie beginnen, etwas irreführend, ja
@Cryo: Danke für deine Kommentare. Können Sie in der Liste der Schritte sagen, welche fehlerhaft sind?
Ich würde es nicht als fehlerhaft bezeichnen, aber 4. Das Erhöhen/Senken von Indizes ist keine triviale Summierung, es ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. Die Zuordnung ist nicht eindeutig und möglicherweise nicht einmal definiert (singuläre Metrik). Vielleicht wäre es einfacher zu sehen, wie man es sorgfältiger machen kann, wenn Sie ein Beispiel für eine echte Berechnung geben würden, die Sie durchführen möchten. Ich würde die Metrik als Skalarprodukt zwischen Vektoren oder Co-Vektoren definieren und sie dann verwenden, um eine Karte zwischen zwei Räumen zu induzieren
Ich scheine nicht zu verstehen, wie Sie Nummer 3 rechtfertigen können, da dies im Grunde das Schreiben von e als Tensor mit kovariantem Alpha und kontravariantem i ist
Sie versuchen immer wieder, Basisvektoren auf Komponenten zu reduzieren, aber Sie können dies nicht tun, die Komponenten sind Skalare, die Basis besteht aus Vektoren, und um Vektoren auf Skalare zu reduzieren, benötigen Sie per Definition Funktionale. Sie fahren fort, Funktionale implizit aufzurufen, und gelangen dann zu einem „Widerspruch“.
@IronicalCoffee: "i" ist der Index, der bereits im diskutierten Ausdruck vorhanden ist $\mathbf{e}_i$ Und $\alpha$ ist der Index, der verwendet wird, um die Raumkomponente zu identifizieren (sagen wir $\alpha \in \{ t, x, y, z, \}$ zum Beispiel). $\alpha$ kontravariant sein, da diese Vektoren die Basis des Tangentialraums sind. Damit wird die Menge aller Vektoren der Tangentenbasis zu einem 2-Tensor $e^{\alpha}_i$ mit einer kontravarianten Dimension und einer Kovariante.
@Kyro: $\mathbf{e}_i$ sa-Vektor (beachten Sie das fette "e"). Als Vektor hat es Komponenten $\mathbf{e}_i=(e^t_i,e^x_i,e^y_i,e^z_i)$ (Beispiel). Ich kann das in Indexnotation ausdrücken als $e^{\alpha}_i$ . Keine Reduktion von Vektoren auf Skalare, sondern die übliche Indexschreibweise.
@pasabaporaqui Vertraue Wikipedia in der Regel nicht zu sehr. Denken Sie daran, dass das, was dort geschrieben steht, möglicherweise nicht das Ergebnis einer Zustimmung ist, sondern nur der Beharrlichkeit eines bestimmten Benutzers – der möglicherweise völlig falsch liegt. Ich habe mehrere falsche Aussagen in Wikipedia gefunden. Es ist vielleicht gut, sich einen allgemeinen Überblick zu verschaffen, aber überprüfen Sie zumindest die Referenzen.
@pasabaporaqui Das heißt, der anfängliche Ausdruck, den Sie schreiben, ist keine Erhöhung der Indizes. Das Erhöhen/Senken von Indizes wirkt sich auf Tensor- Indizes aus, aber die " $i$ " In $\pmb{e}_i$ ist nur ein Etikett ; wie Schouten es ausdrücken würde, es ist "Teil des typografischen Symbols $\pmb{e}$ ". Um ehrlich zu sein, mag ich diesen Ausdruck überhaupt nicht, er ist sehr irreführend. Es wird keine Metrik benötigt, um eine reziproke Basis zu definieren. Wenn wir diese Formel in Koordinaten entwickeln, würden wir sehen, dass " $g$ " verschwindet ganz. Zu Ihrem Punkt 6., $\pmb{e}^i$ sind kovariante Vektoren mit Komponenten ${e^i}_\alpha$ .
@pglpm: "i" kommt normalerweise von $\mathbf{e}_i=\frac{\varphi(\dots)}{\partial x^i}$ . Ich denke, dieser Ausdruck gibt "i" seine Eigenschaft als kovarianten Index.

J. Murray · Answer 1

Ich denke, Ihre Verwirrung rührt von der Tatsache her, dass es verschiedene Sichtweisen auf Kovarianz und Kontravarianz gibt.

Die althergebrachte Art, dieses Problem zu behandeln, ist zu sagen, dass eine Grundlage gegeben ist $\mathbf e_i$ für einen Vektorraum $V$ , können wir eine duale Basis für definieren $V$ als was wir schreiben $\mathbf e^i = g^{ij}\mathbf e_j$ . In diesem Rahmen beides $\mathbf e_i$ Und $\mathbf e^i$ gehören $V$ . Dementsprechend ein Vektor $\mathbf v\in V$ kann in Bezug auf die ursprüngliche Basis oder die duale Basis erweitert werden, dh $\mathbf v = v^i\mathbf e_i = v_i \mathbf e^i$ . Der $v^i$ werden die kontravarianten Komponenten von genannt $\mathbf v$ , während $v_i$ sind die kovarianten Komponenten von $\mathbf v$ . Damit diese Gleichheit gelten kann, müssen wir das haben $v_i = g_{ij} v^j$ , Wo $g_{ij}$ Und $g^{ij}$ sind zueinander inverse Matrixen.

Das Skalarprodukt zwischen Vektoren ist gegeben durch $\mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = g_{ij}$ . Infolge, $\mathbf e^i \cdot \mathbf e_j = g^{ik}\mathbf e_k \mathbf e_j = g^{ik}g_{kj} = \delta ^i_j$ . Daher können wir das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren auf eine der folgenden äquivalenten Arten schreiben:

v \cdot w = v^{ich} w^{J} e_{ich} \cdot e_{J} = v_{ich} w^{J} = v^{ich} w^{J} G_{ich J}

$\mathbf v\cdot \mathbf w = v^i w^j\mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = v_i w^j = v^i w^j g_{ij}$

Beachten Sie, dass wir zu keinem Zeitpunkt den Vektorraum verlassen haben $V$ . Hier gibt es keine Vorstellung von einem dualen Raum; alles findet in einem einzigen Vektorraum statt, und Kontravarianz und Kovarianz von Vektor- oder Tensorkomponenten sind lediglich eine Eigenschaft dessen, auf welcher Basis Sie den Vektor oder Tensor erweitern. Diese Konvention wird immer noch in Bereichen wie Kristallographie verwendet, wo $\mathbf e_i$ könnte die Gittervektoren einiger Kristalle darstellen und die $\mathbf e^i$ sind die reziproken Gittervektoren.

Die modernere Behandlung ist zu sagen, dass ein Vektorraum gegeben ist $V$ und eine Grundlage $\mathbf e_i$ , können wir eine Basis definieren $\boldsymbol \epsilon^i$ für den (algebraischen) Dualraum $V^*$ unter der Bedingung, dass $\boldsymbol \epsilon^i(\mathbf e_j) = \delta^i_j$ . Jede nicht entartete bilineare Form (z. B. eine Metrik) definiert einen Isomorphismus zwischen $V$ Und $V^*$ . Beliebiger Vektor $\mathbf v\in V$ hat einen Covektor-Partner $\mathbf v^\flat\in V^*$ gegeben von

v^{♭} = G (v, ∙)

$\mathbf v^\flat = \mathbf g(\mathbf v,\bullet)$ dessen Wirkung auf einen Vektor

w \in V

$\mathbf w\in V$ ist dann

v^{♭} (w) = G (v, w) = G_{ich J} v^{ich} w^{J}

$\mathbf v^\flat(\mathbf w) = \mathbf g(\mathbf v,\mathbf w) = g_{ij} v^i w^j$

Dieser Ansatz ist meiner Meinung nach letztendlich viel sauberer. Vektoren und Covektoren werden zu eindeutig unterschiedlichen geometrischen Objekten mit unterschiedlichen Transformationseigenschaften, und die Unterschiede können auf eindeutig basisunabhängige Weise manifestiert werden. Allerdings ist zu beachten, dass die ältere und die neuere Perspektive letztlich gleichwertig sind.

Tolle Antwort, ich wusste nichts von dieser älteren Sichtweise. Können Sie einige Referenzen vorschlagen? Ein weiterer Vorteil der Trennung zwischen Vektor- und Covektorräumen besteht darin, dass wir viele Begriffe (Flüsse, Differential, Parallelschaltung usw.) einführen können, die sich nur auf (differentielle) topologische Begriffe stützen, ohne sich auf eine metrische Struktur zu berufen.
@pglpm Beispiele für die ältere Konvention finden Sie im Grunde in jedem Einführungstext in der Festkörperphysik, in dem Kristallstrukturen erörtert werden. David Tong hat einige Festkörpernotizen online (siehe S. 52 dieser Notizen ), oder Sie könnten eine Kopie eines der Standardtexte wie Ashcroft und Mermin oder Kittel finden. Ich stimme Ihnen definitiv zu; Ich denke, das Haupthindernis für die Annahme dieser Perspektive in der Kristallographie ist, dass das Feld universell funktioniert $\mathbb R^n$ für $n=1,2,3$ also die Kraft und Flexibilität eines allgemeineren [...]
[...] Mehrfachbehandlung ist den Aufwand wahrscheinlich nicht wert.
Danke schön. Wenn Sie Zeit haben, fügen Sie bitte einige Ihrer Bemerkungen und Referenzen in diesen Wikipedia-Abschnitt ein, ich denke, das wäre hilfreich für viele Leute, die dort stolpern.
@pglpm Ich werde einen Blick darauf werfen, wenn ich einen Moment Zeit habe. Ich möchte auch hinzufügen, dass sogar einige (normalerweise ältere) etablierte Relativitätstexte diese Konvention verwenden. Zum Beispiel enthält Weinberg II.5 den Satz "Obwohl jeder Vektor in einer kontravarianten oder einer kovarianten Form geschrieben werden kann [...]." Dieses Buch (und andere ähnliche) arbeiten vollständig in Indexnotation, unterscheiden nicht zwischen einem Tensor und seinen Komponenten und definieren Vektoren durch ihre Transformationsregeln; nicht mein bevorzugter Stil, aber einer, der existiert.
Tatsächlich taucht der metrische Tensor überall in diesen älteren Texten auf (manchmal wurde er sogar "Welttensor" genannt). Etwas überraschend, wenn man bedenkt, dass Schouten in den 1950er Jahren die unterschiedlichen geometrischen Bedeutungen ziemlich klar hatte (und Cartan sogar vorher). Ich finde auch, dass die "modernen" Präsentationen eher zu neuen Ideen führen. Sie machen beispielsweise deutlich, dass Ladungs- oder Magnetflusserhaltung nichts mit metrischen Tensoren zu tun haben. Auch Stackexchange ist ein gutes Medium, um diese Sichtweise bekannter zu machen.
Ich habe hier Zweifel. Wenn wir zwei verschiedene Vektorräume haben, dann sprechen wir von einem Vektor $V$ dann kann es entweder in einem Raum oder in seinem dualen (anderen) Raum leben. Warum sagen dann Bücher in GR, dass dieser Vektor $V$ ist das einzige geometrische Objekt und seine Komponenten in einem Raum sind kontravariant und werden im dualen Raum kovariant genannt. Der Vektor, der kovariante Komponenten hat, lebt in einem anderen Raum, also ist er eine andere geometrische Einheit. Warum weisen wir sowohl kontravariante als auch kovariante Komponenten demselben geometrischen Vektor zu, wenn die kovarianten Komponenten von einer anderen geometrischen Einheit sind
@Shashaank Ich bin mir nicht sicher, wie ich das auf eine Weise beantworten soll, die sich deutlich von der vollständigen Antwort unterscheidet, die ich geschrieben habe. Es ist möglich , die Differentialgeometrie zu formulieren, ohne über den dualen Raum als einen getrennten Raum zu sprechen, in dem sich kontravariante und kovariante Komponenten auf dasselbe Objekt beziehen, das in zwei verschiedenen Basen ausgedrückt wird. Der modernere Ansatz, der zwischen dem Vektorraum und seinem dualen Raum unterscheidet, ist meiner Meinung nach jedoch viel sauberer, weshalb ich mich fast immer auf diese Formulierung beziehe.
@J.Murray Danke. Könnten Sie mir bitte mitteilen, dass die Art der Behandlung, die in Caroll vorgestellt wird, darauf hindeutet, die kontravarianten und kovarianten Vektoren als zwei völlig unterschiedliche geometrische Einheiten zu behandeln oder nicht. Auch jedes grundlegende Buch, das Sie zwei empfehlen möchten, erklärt dieses Thema von Kontravainten und kovarianten Vektoren als unterschiedliche geometrische Objekte ausführlich.
@Shashaank Carroll nimmt die moderne Perspektive ein und ist der beste Einführungstext für diesen Zweck, den ich kenne. Auch MTW nimmt diese Perspektive ein, indem es umfangreiche geometrische Bilder für Covektoren gibt (er verwendet die Terminologie "eine Form" im Vorgriff auf die Entwicklung des Rahmens von Differentialformen). Wald ist eine dritte derartige Ressource (mein Lieblingstext von GR), aber sie tendiert mehr zu mathematischer Präzision als die anderen. Für ein Gegenbeispiel der alten Schule siehe Weinberg.
@J.Murray Vielen Dank. Nur zur Verdeutlichung verwendet Weinberg diesen anderen Ansatz, indem er sagt, dass ein Vektor sowohl eine kontravariante als auch eine kovariante Komponente hat, richtig. Ich beziehe mich im Grunde nur auf Caroll, die ein bisschen Angst davor hat, Wald und MTW abzuholen (es ist sehr schwer und langwierig). Aber ich habe im Grunde nach einem rein mathematischen Text gefragt, der sich mit der Mathematik von GR, Differentialgeometrie usw. befasst. Ich habe festgestellt, dass mein mathematisches Wissen an bestimmten Stellen Mädels enthält. Ich dachte daran, mir ein reines mathematisches Buch zuzulegen. Schlägst du das vor oder soll ich stattdessen Wald abholen?
@Shashaank Ich bezweifle, dass ein rein mathematischer Text über Differentialgeometrie leichter zu verstehen wäre als Wald oder MTW, also würde ich einen davon vorschlagen, wenn Sie mehr Strenge wünschen.

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