Was bedeutet es, als Skalar oder Vektor zu transformieren?

Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, die Begriffe "Transformation als Vektor" oder "Transformation als Skalar" je nach Kontext mathematisch zu formalisieren, aber in dem Kontext, den Sie in Betracht ziehen, würde ich Folgendes empfehlen:

Betrachten Sie eine endliche Anzahl von Arten von Objekten$o_1, \dots, o_n$, die jeweils in einer Menge leben$O_i$von Objekten, von denen jedes so definiert ist, dass es sich unter Drehungen auf eine bestimmte Weise transformiert. Mit anderen Worten, bei beliebiger Drehung$R$, und für jedes Objekt$o_i$Wir haben eine Zuordnung, wenn wir auf Objekte in einwirken$O_i$sagt uns, was mit ihnen bei einer Rotation passiert$R$:

$$\begin{align} o_i \mapsto o_i^R = \text{something we specify} \end{align}$$ Zum Beispiel, wenn $o_1$ist nur ein Vektor $\mathbf r$im dreidimensionalen euklidischen Raum $\mathbb R^3$, dann würde man typischerweise nehmen $$\begin{align} \mathbf r \mapsto \mathbf r^R = R\mathbf r. \end{align}$$ Jede Zuordnung $o_i\mapsto o_i^R$würde ein Mathematiker eine Gruppenaktion der Rotationsgruppe am Set nennen $O_i$(Weitere Details finden Sie bei der Definition einer Gruppenaktion, die wir hier ignorieren). Sobald wir angegeben haben, wie diese verschiedenen Objekte $o_i$unter Drehungen transformieren, können wir die folgende Definition machen:

Definition. Skalar unter Drehungen

Lassen Sie eine beliebige Funktion$f:O_1\times O_2\times\cdots \times O_n\to \mathbb R$gegeben sein, sagen wir, es ist ein Skalar unter Drehungen vorgesehen

$$\begin{align} f(o_1^R, \dots o_n^R) = f(o_1, \dots o_n). \end{align}$$ Diese Definition sagt intuitiv nur, dass Sie ein Objekt "bauen". $f$aus einer Menge anderer Objekte $o_i$dessen Transformation unter Drehungen Sie bereits angegeben haben, dann das neue Objekt $f$das Sie konstruiert haben, wird als Skalar betrachtet, wenn es sich nicht ändert, wenn Sie eine Drehung auf alle Objekte anwenden, aus denen es aufgebaut ist.

Beispiel. Das Skalarprodukt

Lassen$n=2$, und lass$o_1 = \mathbf r_1$und$o_2 = \mathbf r_2$beide sind Vektoren in$\mathbb R^3$. Wir definieren$f$folgendermaßen:

$$\begin{align} f(\mathbf r_1, \mathbf r_2) = \mathbf r_1\cdot \mathbf r_2. \end{align}$$ Ist $f$ein Skalar unter Drehungen? Okay, lass uns nachsehen: $$\begin{align} f(\mathbf r_1^R, \mathbf r_2^R) = (R\mathbf r_1)\cdot (R\mathbf r_2) = \mathbf r_1\cdot (R^TR\mathbf r_2) = \mathbf r_1\cdot \mathbf r_2 = f(\mathbf r_1, \mathbf r_2) \end{align}$$ also ja ist es!

Was ist nun mit einem Skalarfeld ? Wie definieren wir ein solches Tier? Nun, wir müssen die obige Definition nur leicht modifizieren.

Definition. Bereich der Skalare

Lassen Sie eine beliebige Funktion$f:O_1\times\cdots \times O_n\times\mathbb R^3\to \mathbb R$gegeben werden. Wir nennen$f$ein Feld von Skalaren unter Drehungen bereitgestellt

$$\begin{align} f(o_1^R, \dots, o_n^R)(R\mathbf x) = f(\mathbf x). \end{align}$$ Sie können sich das einfach so vorstellen, dass die gedrehte Version von $f$am gedrehten Punkt ausgewertet $R\mathbf x$stimmt mit der ungedrehten Version überein $f$am nicht gedrehten Punkt ausgewertet. Beachten Sie, dass dies formal dasselbe ist wie die Gleichung, die Sie aufgeschrieben haben, nämlich $\bar T(\bar x, \bar y) = T(x,y)$.

Beispiel. Divergenz eines Vektorfeldes

Betrachten Sie den Fall, dass$\mathbf v$ist ein Vektorfeld. Rotationen werden herkömmlicherweise so definiert, dass sie auf Vektorfelder wie folgt wirken (ich werde versuchen, einen anderen Beitrag zu Physics.SE zu finden, der erklärt, warum):

$$\begin{align} \mathbf v^R(\mathbf x) = R\mathbf v(R^{-1}\mathbf x) \end{align}$$ Ist seine Divergenz ein Skalarfeld? Nun, um mit der Definition in Kontakt zu treten, die wir oben gegeben haben, lassen Sie $f$bezeichnen die Divergenz, nämlich $$\begin{align} f(\mathbf v)(\mathbf x) = (\nabla\cdot \mathbf v)(\mathbf x) \end{align}$$ Beachten Sie nun, dass wir mit der Kettenregel erhalten (wir verwenden die Einstein-Summennotation) $$\begin{align} (\nabla\cdot\mathbf v^R)(\mathbf x) &= \nabla\cdot\big(R\mathbf v(R^{-1}\mathbf x)\big)\\ &= \partial_i(R_{ij}v_j(R^{-1}\mathbf x) \\ &= R_{ij} \partial_i(v_j(R^{-1}\mathbf x)) \\ &= R_{ij}(R^{-1})_{ki}(\partial_k v_j)(R^{-1}\mathbf x)\\ &= (\nabla\cdot \mathbf v)(R^{-1}\mathbf x) \end{align}$$ was das impliziert $$\begin{align} (\nabla\cdot\mathbf v^R)(R\mathbf x) = (\nabla\cdot \mathbf v)(\mathbf x), \end{align}$$ aber die linke Seite ist genau $f(\mathbf v^R)(R\mathbf x)$und die rechte Seite ist $f(\mathbf v)(\mathbf x)$also haben wir $$\begin{align} f(\mathbf v^R)(R\mathbf x) = f(\mathbf v)(\mathbf x). \end{align}$$ Genau dies ist die Bedingung $f$(die Divergenz eines Vektorfeldes) ein Skalarfeld unter Drehungen sein.

Erweiterung auf Vektoren und Vektorfelder.

Um einen Vektor unter Rotationen und ein Feld von Vektoren unter Rotationen zu definieren, gehen wir sehr ähnlich vor, aber stattdessen haben wir Funktionen$\mathbf f:O_1\times O_2\times\cdots \times O_n\to \mathbb R^3$und$\mathbf f:O_1\times O_2\times\cdots \times O_n\times\mathbb R^3\to \mathbb R^3$(mit anderen Worten, die rechte Seite des Pfeils wird geändert von$\mathbb R$zu$\mathbb R^3$, und die definierenden Gleichungen für einen Vektor und ein Feld von Vektoren werden

$$\begin{align} \mathbf f(o_1^R, \dots o_n^R) = R\,\mathbf f(o_1, \dots o_n). \end{align}$$ und $$\begin{align} \mathbf f(o_1^R, \dots, o_n^R)(R\mathbf x) = R \,\mathbf f(\mathbf x) \end{align}$$ beziehungsweise. Mit anderen Worten, es gibt ein Extra $R$Multiplizieren der rechten Seite.

Ich denke, Sie haben die richtige Idee, aber ich werde versuchen, es in einer aufschlussreicheren Notation zu schreiben.

Zunächst einmal muss klargestellt werden, dass wir bei dieser Diskussion immer nur an einem einzigen Punkt arbeiten. Wir kümmern uns nur um die Transformation der Koordinaten, die den Bereich beschreiben, in dem Maße, in dem dies Änderungen in den zugehörigen Richtungen an einem Punkt bewirkt. Das heißt, auf jedem Punkt im Raum können Vektoren definiert sein, und eine sehr bequeme Basis für den Vektorraum an diesem Punkt ist der Satz von Richtungsableitungen, z

$$\mathcal{B} = \{\vec{\partial}_{(x)}, \vec{\partial}_{(y)}, \ldots\}.$$ $\vec{\partial}_{(x)}$Punkte in der $x$-Richtung; nennen $\vec{e}_x$falls Sie es wollen. Ändern $\{x, y, \ldots\} \to \{\bar{x}, \bar{y}, \ldots\}$wird uns eine neue natürliche Basis geben $$\bar{\mathcal{B}} = \{\vec{\partial}_{(\bar{x})}, \vec{\partial}_{(\bar{x})}, \ldots\}$$ an jedem Punkt.

Der Punkt dieser Diskussion ist, dass Transformationen lokal sind. Welche Zahlen Sie verwenden, um den Punkt im Raum zu identifizieren, ist irrelevant, also lassen Sie sich nicht davon abhalten, ob wir den Punkt nennen$(x,y)$oder$(\bar{x},\bar{y})$. Okay, genug Anspielungen auf die Differentialgeometrie.

Schauen wir uns Skalare an . Ein Skalar ist nur eine einzelne Zahl aus Ihrem bevorzugten mathematischen Gebiet. ¹ Außerdem transformiert es sich nicht, wenn sich die Richtungsvektoren ändern, da es sowieso keine Richtungsinformationen trägt. Wenn ich einen Skalar habe$f$, könnte ich sagen, dass seine Darstellung in beiden Grundlagen gleich ist:

$$f \stackrel{\mathcal{B},\mathcal{\bar{B}}}{\to} f.$$

Betrachten Sie nun einen Vektor $\vec{A}$. Da ein Vektor immer eindeutig als Linearkombination von Basisvektoren geschrieben werden kann, machen wir das:

$$\vec{A} = A^x \vec{\partial}_{(x)} + A^y \vec{\partial}_{(y)} + \cdots.$$ Aber es schwimmt eine andere Basis herum, und so habe ich eine andere Zerlegung zur Verfügung: $$\vec{A} = A^\bar{x} \vec{\partial}_{(\bar{x})} + A^\bar{y} \vec{\partial}_{(\bar{y})} + \cdots.$$ Der Einfachheit halber kann ich die Koeffizienten einfach schreiben, wenn die Basis verstanden wird: $$\begin{align} \vec{A} & \stackrel{\mathcal{B}}{\to} (A^x, A^y, \ldots) \\ \vec{A} & \stackrel{\mathcal{\bar{B}}}{\to} (A^\bar{x}, A^\bar{y}, \ldots). \end{align}$$

Die Zahlen$A^x$,$A^y$,$A^\bar{x}$usw. sind nur Skalare im mathematischen Sinne, aber oft vermeiden wir es, sie Skalare zu nennen. Stattdessen nennen wir sie Komponenten eines Vektors und erwarten, dass sie sich kollektiv als Vektor transformieren, wenn wir die Basis ändern. Das heißt, wenn ich abschalte$\mathcal{B}$zu$\bar{\mathcal{B}}$, sollte ich umschreiben$(A^x, A^y, \ldots)$wie$(A^\bar{x}, A^\bar{y}, \ldots)$sodass sich die Zahlensammlung immer noch auf denselben abstrakten Vektor bezieht.

Die eigentliche Transformation ist einfach genug zu finden. Ich kann immer ein Element einer Basis durch die andere Basis ausdrücken. Angenommen für$j \in \{x, y, \ldots\}$und$\bar{\imath} \in \{\bar{x}, \bar{y}, \ldots\}$Wir haben Koeffizienten${\Lambda^\bar{\imath}}_j$so dass

$$\vec{\partial}_{(j)} = \sum_\bar{\imath} {\Lambda^\bar{\imath}}_j \vec{\partial}_{(\bar{\imath})}.$$ Dann $$\begin{align} \sum_\bar{\imath} A^\bar{\imath} \vec{\partial}_{(\bar{\imath})} & = \vec{A} \\ & = \sum_j A^j \vec{\partial}_{(j)} \\ & = \sum_j A^j \sum_\bar{\imath} {\Lambda^\bar{\imath}}_j \vec{\partial}_{(\bar{\imath})} \\ & = \sum_\bar{\imath} \sum_j {\Lambda^\bar{\imath}}_j A^j \vec{\partial}_{(\bar{\imath})}. \end{align}$$ Da Basiszerlegungen eindeutig sind, können wir ablesen $$A^\bar{\imath} = \sum_j {\Lambda^\bar{\imath}}_j A^j.$$ In Matrixschreibweise ist dies $$\begin{pmatrix} A^\bar{x} \\ A^\bar{y} \\ \vdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\Lambda^\bar{x}}_x & {\Lambda^\bar{x}}_y & \cdots \\ {\Lambda^\bar{y}}_x & {\Lambda^\bar{y}}_y & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^x \\ A^y \\ \vdots \end{pmatrix}.$$

Wenn ein Physiker das überprüft$\vec{A}$als Vektor transformiert, ist normalerweise gemeint, dass wir einen Satz Formeln für haben$A^x, A^y, \ldots$in$\mathcal{B}$, und ein weiterer Satz zum Berechnen$A^\bar{x}, A^\bar{y}, \ldots$in$\bar{\mathcal{B}}$, und wir möchten sicherstellen, dass die Komponenten denselben abstrakten Vektor beschreiben$\vec{A}$. Dies ist der Fall, wenn sich die Mengen der Komponenten nach der oben angegebenen Regel transformieren.

In Ihrem Fall wird Ihnen möglicherweise der Skalar ausgehändigt$T$(dh$f$Oben). Sie können die Werte berechnen$\partial T/\partial x$,$\partial T/\partial y$, usw. (Hier kommt die Abhängigkeit von anderen Punkten ins Spiel, da Ihnen oft gegeben wird$T$als Funktion der Koordinaten, damit Sie ihre partiellen Ableitungen berechnen können.) Sie können den (Spalten-)Vektor zusammensetzen$(\partial T/\partial x, \partial T/\partial y, \ldots)$. Sie könnten dasselbe auf einer anderen Basis tun, mit anderen partiellen Ableitungen, Assembling$(\partial T/\partial\bar{x}, \partial T/\partial\bar{y}, \ldots)$. Es ist jedoch a priori nicht klar, dass diese beiden Gruppen von Komponenten dem obigen Transformationsgesetz gehorchen werden. Zum Glück aber die Steigung$\nabla T$(dh$\vec{A}$) auf diese Weise definiert ist ein echter Vektor und wird korrekt transformiert.

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¹$\mathbb{R}$oder$\mathbb{C}$oder Wasauchimmer. Beachten Sie, wenn wir in der Physik von „Feld“ sprechen, meinen wir oft „Funktion, die den gesamten fraglichen Raum auf eine Art mathematisches Objekt abbildet“. Ein Skalarfeld weist also jedem Punkt im Raum einen Skalar zu, ein Vektorfeld einen Vektor usw. Da wir aber nur diskutieren, was an einem einzelnen Punkt passiert, ist der Begriff der Physiker von "Feld" hier nicht wichtig. Wenn Sie wirklich ein ganzes Skalarfeld oder Vektorfeld transformieren wollen, nehmen Sie einfach das, was hier gemacht wurde, und wenden Sie es auf jeden Punkt im Raum an.