Kovariante vs. kontravariante Vektoren

Question

Kovariante vs. kontravariante Vektoren

Botond

Ich verstehe, dass man in krummlinigen Koordinaten eine kovariante Basis und eine kontravariante Basis definieren kann. Es scheint mir, dass jeder Vektor in eine dieser beiden Basis zerlegt werden kann, sodass man abhängig von der gewählten Basis kovariante Komponenten und kontravariante Komponenten desselben Vektors haben kann . Was mich jedoch verwirrt, ist, wenn von kovarianten und kontravarianten Vektoren gesprochen wird. Bedeuten sie nur die kovarianten/kontravarianten Komponenten von Vektoren oder gibt es tatsächlich zwei verschiedene Arten/Klassen von Vektoren? Im letzteren Fall können kovariante Vektoren nur in kovariante Basen und kontravariante Vektoren nur in kontravariante Basen zerlegt werden?

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Kovariante vs. kontravariante Vektoren

Karl Franz · Answer 1

Wir sprechen nicht von kovarianten und kontravarianten Basen. Beginnen Sie mit der Basis $\{\mathbf e_i\}$ . Dann kann ein allgemeiner Vektor geschrieben werden

v = v^{ich} e_{ich}

$\mathbf v = v^i \mathbf e_i$ Wenn Sie nun die Länge eines Basisvektors verdoppeln, müssen Sie die Komponente halbieren. Die Komponenten werden als kontravariant bezeichnet, weil sie sich entgegengesetzt zur Basis ändern. In Indexschreibweise wird dieser Vektor einfach geschrieben

v^{i}

$v^i$ , und wir nennen ihn einen kontravarianten Vektor, was bedeutet, dass die Komponenten kontravariant sind.

Das innere Produkt

u \cdot v = G_{ich J} u^{ich} v^{J}

$\mathbf u \cdot \mathbf v = g_{ij}u^iv^j$ fordert die Definition auf

u_{J} = G_{ich J} u^{ich}

$u_j = g_{ij}u^i$ Der

u_{j}

$u_j$ sind Komponenten eines Vektors im Dualraum. Da das Skalarprodukt invariant ist, sind die Komponenten

u_{j}

$u_j$ ändern sich entgegengesetzt zu kontravarianten Komponenten, das heißt, sie ändern sich auf die gleiche Weise wie die Basisvektoren. Sie werden kovariante Komponenten genannt, und wir bezeichnen sie als kovariante Vektoren.

Technisch gesehen befinden sich kontravariante Vektoren in einem Vektorraum und kovariante Vektoren in einem anderen Raum, dem dualen Raum. Aber es gibt eine klare 1-1-Entsprechung zwischen dem Raum und seinem Dual, und wir neigen dazu, uns die kontravarianten und kovarianten Vektoren als unterschiedliche Beschreibungen desselben Vektors vorzustellen.

was ist mit den Komponenten $u^i$ ? Sind das nicht die Komponenten desselben Vektors? $\mathbf{u}$ ?
Gott, ich habe jahrelang darauf gewartet, so etwas zu lesen! Danke.

RogerJBarlow · Answer 2

Sie haben eine Grundlage ${\bf e}_i$ in einem Vektorraum.

Die kontravarianten Komponenten eines Vektors ${\bf v}$ werden von gegeben ${\bf v}=v^i{\bf e_i}$ , wie Karl Franz sagt.

Die kovarianten Komponenten eines Vektors ${\bf v}$ werden von gegeben $v_i=\mathbf v\cdot\mathbf e_i$

Ich denke, das ist eine grundlegendere Art, über sie nachzudenken, als auf ihre Transformationseigenschaften einzugehen - obwohl das natürlich stimmt.

Das ist übrigens dann klar $\mathbf u\cdot\mathbf v=\sum u_i v^i$ (oder $\sum u^iv_i$ )

Ich würde sagen (obwohl Mathematiker anderer Meinung sein würden und diese Antwort wahrscheinlich als ketzerisch ablehnen werden), dass ein 'Physik'-Vektor weder kovariant noch kontravariant ist. Es ist ein zeigender Pfeil. Wenn Sie irgendetwas Nützliches damit machen wollen, müssen Sie seine Komponenten aufschreiben, die entweder kovariant oder kontravariant sein können.

Das Problem mit dem Pfeil entsteht sicherlich, wenn wir versuchen, ihn auf grad anzuwenden $\phi$ wenn auf einer nicht-orthogonalen Koordinatenbasis gearbeitet wird, { $\mathbf{e}_i$ }. Die Bestandteile von grad $\phi$ auf dieser Grundlage existieren, geben uns aber nicht das, was wir gerne hätten, nämlich { $\frac{\partial \phi}{\partial x_i}$ }. [Diese Derivate sind Komponenten auf der dualen Basis zu { $\mathbf{e}_i$ }!] Also würde ich argumentieren, dass es nicht immer so ist $useful$ Vektoren als Pfeile zu betrachten.
Wenn Sie an einem Hang stehen (Höhe $\equiv \phi$ ) dann kennst du die Richtung und den Betrag von grad $\phi$ indem Sie einfach eine Murmel loslassen und sehen, in welche Richtung sie geht und wie schnell sie beschleunigt. Das kannst du als Pfeil zeichnen. Ohne irgendwelche Bestandteile aufzuschreiben und damit ohne eine Grundlage einzuschalten. Aber ich stimme zu, dass dies ein kniffliges Zeug ist.
RogerJBarlow Vielen Dank für die Antwort. Es ist nicht so, dass ich sage, dass ein Farbverlauf nicht als Pfeil betrachtet werden kann, so sehr, dass das Pfeil-Ding dies nicht ist $suggestive\ of\ useful\ ways\ to\ proceed$ im Fall eines Gradienten, wenn wir nicht orthogonal arbeiten. Ich glaube nicht, dass wir wirklich uneins sind.

Kovariante vs. kontravariante Vektoren

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