Wie kann ein Satz von Komponenten keinen Vektor bilden?

Vektoren können auf mehrere verschiedene Arten definiert werden. Hier werde ich die vier Möglichkeiten zeigen und erklären, wie sie äquivalent sind$^1$.

1. Eine Äquivalenzklasse von Kurven. Gegeben ein Kurvenparameter$t$, gelten Kurven als äquivalent, wenn sie gleiche Ableitungen nullter und erster Ordnung bei haben$t=0$. Mit anderen Worten, ein Vektor an einem Punkt$p$ist eine Äquivalenzklasse$[\gamma]$so dass

   $$x^i(\gamma(t))=x^i(p)+tv^i+O(t^2),\quad v^i:=\left.\frac{d}{dt}\right|_{0}x^i(\gamma(t))$$ Hier werden die Basisvektoren als Äquivalenzklassen definiert$[\gamma_i]$wo$\gamma_i$ist die Kurve der Konstante$x^i$.

2. Eine lineare Funktion zur Algebra der Algebra der (glatten) Funktionen$^2$das ist eine Ableitung. Diese Definition des Vektors ist die Richtungsableitung. Gegeben eine Kurve$\gamma$, definieren wir den Tangentenvektor$v$so dass

   $$vf=\left.\frac{d}{dt}\right|_{0} f(\gamma(t))$$ Die Basisvektoren sind nur die Richtungsableitungen entlang konstanter Kurven$x^i$. Wir sehen auch, dass diese Definition des Vektors mit der Definition der Äquivalenzklasse kompatibel ist, da die Ableitung nicht davon abhängt$\gamma\in[\gamma]$.

3. Ein Differentialoperator erster Ordnung. Hier schreiben wir$^{3,4}$

   $$v=v^i\partial_i|_p,\quad\partial_i:=\frac{\partial}{\partial x^i}$$ Um zu sehen, wie sich dies auf die zweite Definition bezieht, wenden Sie dies auf eine Funktion an: $$vf=v^i\partial_i|_p f$$ Verwenden Sie nun die Kettenregel in der zweiten Definition, um zu erhalten $$v^i=\frac{dx^i}{dt}$$ Dies stellt auch eine Verbindung zur Definition von her$v^i$in der ersten Definition. Wir bemerken weiterhin, dass partielle Ableitungen unter einer Änderung der Koordinaten$x\rightarrow x'$transformiere mit der Umkehrung des Jacobi. Zum$v$um dann koordinateninvariant zu sein,$\{v^i\}$muss sich mit dem Jacobi umwandeln.

4. Ein$n$-Tupel von (reellen) Zahlen, die sich mit der Jacobi-Zahl transformieren. Alles, was wir hier sagen, ist das$v^i$ist ein Vektor, wenn$v^i\rightarrow J^i{}_j(p)v^j$. Diese Transformationsregel ist konsistent mit der von Definition 3.

Mit diesem Wissen gewappnet gehen wir Ihre Fragen an.

1. Es ist auf der Einstiegsebene sehr einfach zu verstehen. Es lässt sich auch gut auf Vektoren in verschiedenen Kontexten verallgemeinern. Zum Beispiel können wir Vektoren unter Rotation haben, wobei das "Jacobian" einfach eine Rotationsmatrix ist. Ein weiteres Beispiel ist ein Vektor in$SU(N)$,$^5$die sich mit einer einheitlichen Matrix ändert. Mit anderen Worten, ein Vektor ist etwas, das sich wie ein Vektor transformiert . Dies lässt sich dann auf Tensoren verallgemeinern. Ein Tensor ist etwas, das sich wie ein Tensor transformiert .

2. Ein Vektorfeld ist einfach ein Objekt, das jedem Punkt auf der Mannigfaltigkeit einen Vektor zuordnet. Vektoren und Vektorfelder transformieren sich auf die gleiche Weise, der einzige Unterschied besteht darin, dass die Koeffizienten in der linearen Entwicklung nicht konstant sind und die partiellen Ableitungsbasisvektoren nicht auf einen Punkt beschränkt sind.

3. Das Tupel$\{x^i\}$ist kein Vektor. Es transformiert nicht richtig. Einige andere Beispiele finden sich in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Der Beschleunigungsvektor$\ddot x^i$ist kein Vektor, obwohl es ein Tupel ist. Dies liegt daran, dass es nicht richtig transformiert wird. Wir haben auch die Größe, die in der geodätischen Gleichung erscheint,$\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu$. Die Christoffel-Symbole transformieren sich bekanntlich nicht als Tensoren, also ist diese Kombination kein Vektor.

$^1$Siehe [1] p. 23 ff oder [2] p. 589 ff für weitere Einzelheiten.

$^2$Dieser Beitrag unterscheidet nicht zwischen Funktionen und Keimen.

$^3$Wir müssen keine partiellen Ableitungen verwenden, aber die partiellen Ableitungen bilden eine sehr bequeme Basis des Tangentialraums. Siehe [3] p. 15 für einen einfachen Beweis.

$^4$Beachten Sie, dass die partiellen Ableitungen an diesem Punkt ausgewertet werden müssen$p$.

$^5$Auch bekannt als Fundamentaldarstellung.

Verweise:

[1] M. Fecko, Differentialgeometrie und Lügengruppen für Physiker (2006).

[2] N. Straumann, Allgemeine Relativitätstheorie (2013).

[3] R. Wald, Allgemeine Relativitätstheorie (1984).

Wenn Physiker sagen, dass ein Vektor ein n-Tupel ist, das sich entsprechend transformiert, erwarten sie, dass Sie vieles erraten, was nicht gesagt wird. Sie bedeuten, dass Sie für jede Basis ein n-Tupel von Zahlen erhalten. Und wenn Sie die Matrix nehmen, die Ihnen die Änderung der Basen für zwei beliebige Basen gibt, und Sie die Formel in ihrer "Definition" anwenden, geht das erste n-Tupel zum zweiten und so weiter. Daher sind diese n-Tupel die Koordinaten eines Vektors in Bezug auf jede Basis.

Bearbeiten: In seiner Antwort gibt 0celo7 die vier Möglichkeiten an, Tangentenvektoren an einem Punkt auf einer Mannigfaltigkeit zu definieren. Hier ist also ein anderer Weg für diejenigen, die im Herzen Algebraiker sind. Lassen$M$sei eine Mannigfaltigkeit und$p$ein Punkt drauf. Bezeichne mit$\mathcal O_p$der Keimring glatter Funktionen an der Spitze. Es ist ein lokaler Ring in dem Sinne, dass er ein einzigartiges maximales Ideal hat$\mathcal m_p$. Der Quotient$\mathcal O_P/\mathcal m_p$ist isomorph zu$\mathbb R$und$\mathcal m_p/\mathcal m^2_p$ist natürlich ein Vektorraum vorbei$\mathcal O_P/\mathcal m_p$dh es ist ein reeller Vektorraum. Das nennt man den Kotangentialraum der Mannigfaltigkeit an der gegebenen Stelle. Es ist dual$\left(\mathcal m_p/\mathcal m^2_p\right)^*$ist der Tangentialraum. Man kann prüfen, ob dies äquivalent zu jeder der vier Definitionen ist.

OP schrieb (v3):

Nun, gegeben eine Reihe von Komponentenfunktionen$X^1,\dots, X^n$Ich kann nicht sehen, warum sie kein gutes Vektorfeld bilden können. Wenn die Funktionen differenzierbar sind, stetig, und wenn sie der Eigenschaft that gehorchen$\pi \circ X= \operatorname{id}_{M}$dann können wir loslegen.

Dies wird (implizit) durch die Notation von OP impliziert

1. die Komponentenfunktionen$X^1,\dots, X^n\in C^{\infty}(M)$sind global definierte Funktionen.

2. die Koordinatenfunktionen$x^1,\dots, x^n\in C^{\infty}(M)$sind global definierte Funktionen.

Es gibt jedoch viele Beispiele für differenzierbare Mannigfaltigkeiten $M$, die kein globales Koordinatendiagramm haben, zB die 2-Sphäre$S^2$.

Der allgemeine Begriff eines Vektorfeldes sollte sich nicht darauf verlassen, ob es ein globales Koordinatendiagramm gibt oder nicht.

Ich denke, dass die Physiker und Mathematiker in dieser Situation zwei verschiedene Wege gehen, um dasselbe zu erreichen. Wie Borges gesagt hätte, ist jeder entweder Platonist oder Aristoteliker; in diesem Fall (und wahrscheinlich immer) sind die Mathematiker die ersteren und die Physiker die letzteren.

Aus mathematischer Sicht ist die allgemeine Struktur (Kategorie) von Mannigfaltigkeiten und Tangentialräumen usw., von denen die physikalischen Mannigfaltigkeiten der klassischen und relativistischen Physik nur Spezialfälle sind (beachten Sie, dass die Mannigfaltigkeiten der Relativitätstheorie lokal homöomorph sind, als metrische Räume, zum Minkowski-Raum und nicht zum euklidischen: Die Menge ist immer$\mathbb{R}^n$, aber die Metrik ist anders).

Aus physikalischer Sicht haben Sie Objekte, die Sie in der realen Welt beobachten können und die bestimmten Regeln gehorchen, insbesondere (in diesem Zusammenhang), dass sie sich auf besondere Weise unter Änderung der Koordinaten zwischen verschiedenen Referenzrahmen verändern. Aus diesen Regeln ist es sinnvoll, auf eine allgemeine Struktur zu schließen, um interessante Vorhersagen zu treffen. Es stellt sich heraus, dass die passende metrische Struktur der Raumzeit „zufällig“ in die Definition der Riemannschen Mannigfaltigkeiten (lokal Minkowski/euklidisch) passt.

Innerhalb dieser neuen mächtigen Struktur sind die Galilei/Lorentz-Transformationen von Koordinaten nur bestimmte Karten zwischen Diagrammen in der Mannigfaltigkeit, die als lokale Version von Endomorphismen der Riemannschen Mannigfaltigkeit angesehen werden können (Transformationen, die jedem Punkt der Mannigfaltigkeit einen anderen Punkt von zuordnen die gleichen und die die Riemannsche Struktur der Mannigfaltigkeit selbst bewahren, insbesondere ihre Metrik).

Andererseits ist es bei einer gegebenen Mannigfaltigkeit auch möglich, ihre Endomorphismen zu charakterisieren und daher die physikalischen Transformationen als besonderen Fall wiederzugewinnen.

Der Rest ist in gewisser Weise eine Konsequenz: Bei einem Endomorphismus der Mannigfaltigkeit induziert dies einen Endomorphismus des Tangentenbündels, und so erhalten Sie, wie sich Vektorfelder unter der Transformation transformieren, und so weiter. Aber das steht fest, wie der Begriff von Vektoren, Formen usw., wenn man einmal die Mannigfaltigkeit gegeben hat.

Nehmen Sie kartesische Koordinaten für die reale Ebene und wandeln Sie sie in Polar um. Hat den Satz von Koordinaten$(x,y)$als Vektor transformieren? Wenn Sie dieses Beispiel durcharbeiten, werden Sie sehen, dass diese Transformation im Gegensatz zu linearen Transformationen nicht die Jacobi-Transformation beinhaltet. Im linearen Fall ist dies nur ein Zufall.

Es wurden einige gute Diskussionen verlinkt und 0celo7 schrieb die Antwort mit großer Kürze, aber ich werde versuchen, einige Erläuterungen hinzuzufügen. Betrachten wir Rotationssituationen:

Wir können eine Rotation im Uhrzeigersinn betrachten (für unsere kartesische Basis$\{e_i\}$) für einen Vektor$V$,

$\hat x' = \hat x\cos(\theta)+\hat y\sin(\theta)$
$\hat y' = -\hat x\sin(\theta)+\hat y\cos(\theta)$

Darin eingebettet sehen wir die Matrix$R(\theta)$. Wenn wir eine echte Koordinatentransformation durchführen, müssen wir auch berücksichtigen, wie sich unsere Komponenten transformieren.

$V = v^ie_i = v'^ie'_i = (R^{-1})^i{}_jv^jR^k{}_ie_k$

Was wir sorgfältig erkennen müssen, ist, dass wir unseren Vektor bereits basierend auf seiner Transformation definiert haben. Wie wäre es, wenn wir eine andere Transformation in Betracht ziehen$R'$,

$\hat x' = \hat x\cos(\theta)+\hat y\sin(\theta)$
$\hat y' = +\hat x\sin(\theta)+\hat y\cos(\theta)$

Wenn Sie dann dieses neue "Vektor" -Objekt erkunden$W$das verwandelt sich mit$R'$, werden Sie feststellen, dass Ihr "Vektor" wild wackelt, wenn Sie Ihre Koordinaten ändern. Wir haben uns dafür entschieden, solche Objekte im kartesischen Raum nicht Vektoren zu nennen. Es mag einen anderen Raum geben, den diese Transformation und die damit verbundenen Objekte ihr Zuhause nennen, aber es ist nicht so vielfältig. Aus ähnlichen Gründen ist es unsinnig, Lorentz-Transformationen mit a auf den 4D-Raum anzuwenden$(+,-,-,+)$Unterschrift.

Kurz gesagt, für jede Differentialgeometrie gibt es Transformationen, die die Objekte in dieser Geometrie definieren, die von Ihrer willkürlichen Perspektive unbeeinflusst bleiben – die im Wesentlichen die Symmetrie verkörpern, die diese Geometrie enthält.

Aus rein mathematischer Sicht ist der Grund, warum der Begriff:

Sakurai zitieren:

Der Operator unterscheidet sich von der Darstellung des Operators ebenso wie die Schauspielerin sich von einem Poster der Schauspielerin unterscheidet.

Es ist mehr oder weniger dasselbe.