Gradient ist kovariant oder kontravariant?

Die meisten der hier geposteten Antworten sind falsch. Die Wikipedia-Seite für den Farbverlauf sagt

Der Gradient von$f$ist definiert als das eindeutige Vektorfeld, dessen Punktprodukt mit einem beliebigen Vektor ist$v$an jedem Punkt$x$ist die Richtungsableitung von$f$entlang$v$.

Ein Blick auf Theodore Frankels The Geometry of Physics bestätigt dies. Andere Poster haben gesagt, dass die Komponenten des Gradienten von$f$werden von gegeben$\partial_i f$; Dies sind in der Tat die Komponenten des Differentials von$f$, was ein Covektor ist. Die Steigung ist dies bei angehobenem Index.

Lassen Sie uns nun beide Seiten des Ausdrucks aus Wikipedia berechnen. Das innere Produkt von$\mathrm{grad}(f)$mit einem Vektor$v$Ist

$$\mathrm{grad}(f)^{i} g_{i j} v^j =\mathrm{grad}(f)^i v_i.$$ Die Richtungsableitung von $f$entlang $v$Ist $$D_v f = v^i \partial_i f = g^{ij} \partial_i f ~v_j.$$ Wir können uns eindeutig identifizieren $$\mathrm{grad}(f)^{i} = g^{ij} \partial_j f$$ oder $$\mathrm{grad}f = g^{-1} \mathrm{d} f.$$

Gradient ist kovariant! Warum?

Die Komponenten eines Vektors kontravariant , weil sie sich in umgekehrter (dh gegenläufiger) Weise der Vektorbasis transformieren. Es ist üblich, diese Komponenten mit einem oberen Index zu bezeichnen. Also, wenn deine Koordinaten aufgerufen werden$q$'s, sie sind bezeichnet$q^i$.

Daher ist der Gradient (oder eine Ableitung, wenn Sie dies bevorzugen).

$$\partial_i = \frac{\partial}{\partial q^i},$$ die sich als Umkehrung der Komponententransformation transformieren ( 1 / Kontravariante = Kovariante ).

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Wenn Sie immer noch nicht überzeugt sind ... probieren Sie es aus!

• Schlagen Sie eine Koordinatentransformation vor -Dies ist eine Transformationsvorschrift für die kontravarianten Komponenten- (z. B. von kartesisch nach polar)
• Verwenden Sie die Kettenregel, um die Ableitung zu transformieren,
• Überprüfen Sie, ob die Transformation der Ableitung die Umkehrung der Koordinatentransformation ist.

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Persönliche Anmerkung: Obwohl die Notation, auf die mein Homonym Oscar hinweist, korrekt ist [sagen wir $\partial^i$], ich vermeide es lieber, weil es keine Ableitung bzgl. der "echten" Koordinaten ist. Bitte verstehen Sie meine Worte nicht falsch ... Es ist in Ordnung, diesen Operator zu definieren, sollte aber vorsichtig behandelt werden!

Beifall! ;-)

Erinnern Sie sich an die integrale Definition des Gradienten:

$$\nabla \varphi = \lim_{V \to 0} \frac{1}{V} \oint_{\partial V} \varphi \hat n \, dS$$

Dies sollte Ihnen sagen, dass sich die Komponenten des Gradienten auf die gleiche Weise wie die des normalen Vektors transformieren$\hat n$, die bekanntermaßen kovariante Komponenten hat.

Sie können überprüfen, ob der Normalenvektor kovariante Komponenten hat, indem Sie sich daran erinnern, dass die Normale beispielsweise durch ein Kreuzprodukt von Tangentenvektoren definiert werden kann (die kontravariante Komponenten haben; das Kreuzprodukt echter Vektoren ist ein Pseudovektor, der kovariante Komponenten hat).

Ein kovarianter Vektor ist üblicherweise ein Vektor, dessen Komponenten mit dem Index „downstairs“ geschrieben werden, wie z$x_{\mu}$. Nun ist der Gradient definiert als$\partial_\mu := \dfrac{\partial}{\partial x^\mu}$. Wie Sie den kovarianten Vektor sehen können$\partial_\mu$die Ableitung nach dem kontravarianten Vektor ist$x^\mu$. die kontravariante Form von$\partial_\mu$Ist$\partial^\mu := g^{\mu\nu}\partial_\nu$- und falls die Metrik konstant ist$\partial^\mu = \frac{\partial}{\partial x_\mu}$.

Manchmal der Vektor$\partial_\mu$wird verwendet, um eine Koordinatenbasis des Tangentenvektorraums an einem Punkt einer Mannigfaltigkeit anzugeben. In diesem Fall der Index$\mu$ist nicht der Index der Komponente (der für einen Vektor oben sein sollte), sondern zeigt die an$\mu$ten Vektor der Basis.

Gradient ist kovariant. Betrachten wir den Gradienten einer Skalarfunktion. Der Grund dafür ist, dass ein solcher Gradient die Differenz der Funktion pro Entfernungseinheit in Richtung des Basisvektors ist.

Wir behandeln den Gradienten oft als gewöhnlichen Vektor, weil wir oft von einer orthonormalen Basis in eine andere orthonormale Basis transformieren. Und in diesem Fall sind Matrixtransponierung und -inverse gleich.

Lassen$E, E'$Seien Matrizen von Basisvektoren und$A$sei die Transformationsmatrix zwischen ihnen.

$$(E')^T = \begin{bmatrix} \hat{e}'_1 & \hat{e}'_2 & \vdots & \hat{e}'_n \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} \hat{e}_1 \\ \hat{e}_2 \\ \dots \\ \hat{e}_n \end{bmatrix} = A\ E$$

Lassen$\hat{v}, \hat{v}'$Vektoren in jeweiligen Basen sein. Dann

$$\label{1} \tag{1} \hat{v} = v^i\hat{e}_i = E^T\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\ \vdots \\v_n\end{bmatrix}$$ $$\label{2} \tag{2} \hat{v}' = v^i\hat{e}'_i = (E')^T\begin{bmatrix}v'_1\\v'_2\\ \vdots \\v'_n\end{bmatrix} = (A\ E)^T\begin{bmatrix}v'_1\\v'_2\\ \vdots \\v'_n\end{bmatrix} = E^TA^T\begin{bmatrix}v'_1\\v'_2\\ \vdots \\v'_n\end{bmatrix}$$ Aus $\ref{1}$Und $\ref{2}$wir haben: $$A^T\hat{v}' = \hat{v}$$ und schlussendlich $$\boxed{\hat{v}' = (A^T)^{-1}\hat{v}}$$

Ich werde eine einfache Erklärung anbieten, die sich nur auf die Steigung stützt.

Angenommen, wir haben eine Linie mit Steigung 5, also entspricht für jeweils 5 Einheiten nach oben eine Einheit nach rechts. Lassen Sie uns nun die y-Achse um 3 erweitern, das heißt, die Abstände zwischen jedem Inkrement von 1 sind jetzt dreimal größer. Damit unsere Steigung unveränderlich (gleich 5) ist, muss die y-Komponente der Steigung ebenfalls um den Faktor 3 dilatieren, d. h. mit der y-Achse kovariieren .

Lassen Sie mich versuchen, die einfachste Erklärung dafür zu geben, warum der Gradient ein kovarianter Vektor ist.

Per Definition gehorchen die Komponenten einer kovarianten Vektortransformation dem Gesetz:

$$\overline A_i = \sum_{j=1}^n \frac {\partial x^j} {\partial \overline x^i} A_j \qquad \qquad (1)$$

und die Komponenten einer kontravarianten Vektortransformation gehorchen dem Gesetz:

$$\overline A^i = \sum_{j=1}^n \frac {\partial \overline x^j} {\partial x^i} A^j \qquad \qquad (2)$$

Wenn die Komponenten des Gradienten eines Skalarfeldes im Koordinatensystem$\Bbb {\mathit {x_j}}$, nämlich$\frac {∂f} {∂x_j}$, sind bekannt, dann können wir die Komponenten des Gradienten im Koordinatensystem finden$\Bbb { \overline { \mathit {x_i}}}$, nämlich$\frac {∂f} {∂ \overline x_j}$, nach der Kettenregel:

$$\frac {\partial f} {\partial \overline x_i} = \frac {\partial f} {\partial x_1} \frac {\partial x_1} {\partial \overline x_i} + \frac {\partial f} {\partial x_2} \frac {\partial x_2} {\partial \overline x_i} + \cdot\cdot\cdot+ \frac {\partial f} {\partial x_n} \frac {\partial x_n} {\partial \overline x_i} = \sum_{j=1}^n \frac {\partial x_j} {\partial \overline x_i}\frac {\partial f} {\partial x_j}$$

Offensichtlich$\quad \frac {\partial f} {\partial \overline x_i}=\overline A_i \quad$, Und$\quad \frac {\partial f} {\partial x_j} = A_j \quad$, dann erhalten wir die gleiche Gleichung wie$(1) \quad$

Daher ist der Gradient ein kovarianter Vektor.