Kovariante und kontravariante Komponenten eines Vektors in einem krummlinigen Koordinatensystem

Ich bin mir jedoch nicht sicher, wie sich dies auf krummlinige Koordinatensysteme übertragen lässt.

In einem krummlinigen Koordinatensystem werden die "geraden" Achsen punktweise als Tangentenlinien zu den Koordinatenlinien an diesem Punkt definiert. Mit anderen Worten, und vielleicht mit größerer Intuition, die Koordinatenkurven sind Kurven auf der Mannigfaltigkeit, die an jedem Punkt$x\in M$definieren ein "lineares" Koordinatensystem linearer algebraischer Art im Tangentialraum$T_xM$an diesem Punkt.

Sie funktionieren also genauso wie mit einem linearen Koordinatensystem, aber Sie müssen jeden Tangentenraum separat betrachten.

Eine andere Sache, die ich nicht verstehe: Sind nicht Covektoren und nicht Vektoren die mathematischen Objekte mit kovarianten Komponenten? Warum sagen wir, dass ein Vektor sowohl kovariante als auch kontravariante Komponenten haben kann?

Unter Verwendung der Standardterminologie haben Vektoren kontravariante Komponenten und Covektoren haben kovariante Komponenten.

Allerdings gibt es sozusagen einen gemeinsamen „Perspektivenmissbrauch“. Wenn Ihr Verteiler$M$ist mit einem nicht entarteten metrischen Tensor ausgestattet$g:TM\times_M TM\rightarrow\mathbb R$, dann, wie OP wahrscheinlich bewusst ist, realisiert die Metrik einen (strengen) Vektorbündel-Isomorphismus zwischen dem Tangentenbündel und dem Kotangensbündel (oder algebraisch gesprochen realisiert ein inneres Produkt einen Isomorphismus zwischen dem Vektorraum und seinem Dual). Bezeichnen wir diesen Isomorphismus als$\sharp:T^\ast M\rightarrow TM$("Anheben") und seine Umkehrung als$\flat:TM\rightarrow T^\ast M$("Senkung").

Durch die übliche Eigenschaft dualer Räume, wenn$e_a$, ($a=1,..,n$) ist ein lokaler Rahmen für$TM$, dann gibt es einen eindeutigen lokalen Rahmen$\theta^a$($a=1,...,n$) für$T^\ast M$das befriedigt$\theta^a(e_b)=\delta^a_b$. Das ist der altbekannte Doppelrahmen.

Aber dann können wir "Raising" auf die anwenden$\theta^a$und erhalten$e^a:=\sharp\theta^a$. Dies sind nun lokale Vektorfelder (statt 1-Formen/Covektoren) an$M$die (nach der Definition des metrischen Isomorphismus) genügen$g(e^a,e_b)=\delta^a_b$.

Wenn man so will, darf man anrufen$e^a$eher ein "reziproker Rahmen" als ein dualer Rahmen sein, da die Elemente des reziproken Rahmens lokale Vektorfelder und keine Covektorfelder sind.

Wir können dann sagen, ob es sich um ein Vektor- oder ein lokales Vektorfeld handelt$v$gegeben ist, können wir es ausdrücken als$v=v^a e_a=v_a e^a$in jedem Rahmen. Wie man leicht sieht, sind die "kovarianten Komponenten"$v_a$haben genau die gleichen Eigenschaften und die gleiche Form wie die Komponenten von$\flat v$(die "Senkung" von$v$) im Doppelrahmen.

Somit kann man ganz auf Kovektoren und bigradige Tensoren verzichten und alle Tensoren als nur nach Grad/Rang/Ordnung (Anzahl der Indizes) eingestuft betrachten, mit dem Verständnis, dass alle Indizes entweder in Bezug auf einen Rahmen oder seinen reziproken Rahmen genommen werden können. und dann funktioniert alles genau so, als hätte man von Anfang an zweigradige Tensoren berücksichtigt, aber man muss nicht auch Dualräume und so etwas lernen.

Diese Betrachtungsweise ist jedoch "unnatürlich" und erfordert einen festen metrischen Tensor.

Eine andere Sache, die ich nicht verstehe: Sind nicht Covektoren und nicht Vektoren die mathematischen Objekte mit kovarianten Komponenten?

OP hat das nicht so gemeint, aber ich fühle mich gezwungen, hier auch zu sagen, dass die "traditionelle" Terminologie von Kontravariant und Kovariant in Bezug auf den modernen kategorietheoretischen Standpunkt völlig rückständig ist. Wenn$M,N$sind glatte Mannigfaltigkeiten und$\phi:M\rightarrow N$eine glatte Karte ist, dann werden Tangentenvektoren (die traditionell diejenigen mit kontravarianten Komponenten sind) entlang der Karte transportiert$\phi$über den Tangensfunktor$T:\mathsf{Diff}\rightarrow\mathsf{VecBun}$, der ein kovarianter Funktor ist , und Kovektoren (die traditionell diejenigen mit kovarianten Komponenten sind) werden entlang der Karte rückwärts transportiert$\phi$über den Kotangensfunktor$T^\ast:\mathsf{Diff}\rightarrow\mathsf{VecBun}$, was ein kontravarianter Funktor ist .

Seit wann$\phi$ist ein Diffeomorphismus, dies ist im Wesentlichen die koordinatenfreie Version der Koordinatenänderungsformel, Tangentenvektoren sollten als kovariant und 1-Formen als kontravariant bezeichnet werden.

Ich denke, wir müssen neben der normalen Basis von Vektoren eine reziproke Basis definieren .

Der einfachste Fall von krummlinig sind Polarkoordinaten in der Ebene. Ein Punkt$P = [X,Y]$in kartesischen Koordinaten, sein$P(r,θ) = [r cos(θ) , r sin(θ)]$.

Der Basisvektor ist nun eine Funktion von$P$. Als Normalbasis nehmen wir die Steigung:

Obwohl es orthogonal ist, ist es nicht orthonormal. Wir definieren reziproke Vektoren:$\mathbf e^r$Und$\mathbf e^θ$so dass:

Nach diesen Anforderungen:

Jetzt können wir die Komponenten eines kleinen Vektors in der Umgebung von finden$P$. Zuerst die kontravarianten, das ist das Skalarprodukt mit der reziproken Basis (es ist leicht zu beweisen, dass es für gerade Koordinaten gleichbedeutend ist mit dem Zeichnen paralleler Linien zur Achse):

Wenn wir anrufen:$\mathbf dV.\mathbf e^r = dr\;$Und$\;\mathbf dV.\mathbf e^θ = dθ$

Die kovarianten Komponenten sind das Skalarprodukt des Vektors mit der Normalbasis. Aber es muss als Linearkombination seiner reziproken Basis ausgedrückt werden:

Die Vektorlänge ist:$dV^2 = \mathbf dV^i\mathbf dV_i = [dr\mathbf e_r + dθ\mathbf e_θ][dr\mathbf e^r + r^2 dθ\mathbf e^θ] = dr^2 + r^2dθ^2$

Die Komponenten des metrischen Tensors sind:$g_{rr} = \mathbf e_r.\mathbf e_r = 1; g_{rθ} = \mathbf e_r.\mathbf e_θ = 0; g_{θr} = \mathbf e_θ.\mathbf e_r = 0; g_{θθ} = \mathbf e_θ.\mathbf e_θ = r^2$