Frage zu Mannigfaltigkeiten und Koordinatentransformationen

Annehmen, dass$\varphi:U\rightarrow \mathbb{R}^n$ist eine Diagrammfunktion. Wenn$p\in M$ist ein Punkt, dann schreiben wir

$$\varphi(p)=(x^1(p),...,x^n(p)),$$ So $\varphi$als Einheimischer $\mathbb{R}^n$-bewertete Funktion ist gleich $n$lokal $\mathbb{R}$-wertige Funktionen, die die Koordinatenfunktionen des Diagramms sind.

Folglich (und weil$\varphi$ist invertierbar), die Umkehrfunktion ist gegeben durch$\varphi^{-1}:\mathbb{R}^n\rightarrow M$(Ich missbrauche die Notation, weil sie normalerweise nicht von allen abbildet$\mathbb{R}^n$, interpretieren Sie dies als Teilfunktion). Es ist ein gegebener Wert$n$-Tupel wird beschrieben als

$$\varphi^{-1}(x^1,...,x^n).$$ Hier missbrauche ich mal wieder die Notation, denn die $x^\mu$s sind jetzt Variablen in $\mathbb{R}^n$. Ich bin mir nicht sicher, was die Quelle und das Thema Ihrer Verwirrung genau ist, aber ich nehme an, dass es etwas damit zu tun hat. Wir gebrauchen $x^\mu$sowohl als (lokale) Funktion aus $M$Zu $\mathbb{R}$, und als Koordinate/Variable innerhalb $\mathbb{R}^n$.

Das können wir auch sagen

$$p=\varphi^{-1}(x^1(p),...,x^n(p))$$ und hier haben wir die Notation nicht missbraucht.

Nun lass$\psi:V\rightarrow \mathbb{R}^n$auch eine Diagrammfunktion sein, und nehmen wir das an$U\cap V\neq\emptyset$. Um die Notation zu vereinfachen, werde ich reduzieren$U$Und$V$beide, damit sie zusammenfallen, und ich werde einfach verwenden$U$für beide Koordinatenbereiche.

Wir können schreiben

$$\psi(p)=(y^1(p),...,y^n(p))$$ , also die Koordinatenfunktionen von $\psi$sind jetzt mit bezeichnet $y$. Die umgekehrte Aussage ist $$p=\psi^{-1}(y^1(p),...,y^n(p)),$$ also missbrauchen wir wieder einmal die Notation und denken an die Umkehrfunktion $\psi^{-1}$als Funktion der Variablen $y^1,...,y^n$.

Mit diesen Notationen ist die Übergangsfunktion$\psi\circ\varphi^{-1}$ist ein$\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$Funktion, deren Wert für ein bestimmtes Element ihrer Domäne geschrieben werden kann als

$$(\psi\circ\varphi^{-1})(x^1,...,x^n)=(y^1(\varphi^{-1}(x^1,...,x^n)),...,y^1(\varphi^{-1}(x^1,...,x^n)))=(y^1(x^1,...,x^n),...,y^n(x^1,...,x^n)).$$

Hier in der letzten Gleichung haben wir einen abscheulichen Notationsmissbrauch begangen und "vergessen"$\varphi^{-1}$- wir haben uns einfach die Übergangsfunktion angesehen$\psi\circ\varphi^{-1}$als funktionale Beziehung zwischen den abhängigen Variablen $y^\mu$und die unabhängigen Variablen $x^\mu$.

Dieser Notationsmissbrauch ist in der Differentialgeometrie weit verbreitet – sogar unter Mathematikern. Denn selbst einfache Dinge wären mehr oder weniger unlösbar, wenn wir eine sehr pedantische Notation verwenden würden.

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Zur eigentlichen Frage: Die optimale Antwort hängt davon ab, wie Sie gerne über Tangentenvektoren denken. Normalerweise handelt es sich entweder um Punktableitungen auf dem Ring glatter Funktionen, z. Karten des Formulars$f\mapsto v(f)\in\mathbb{R}$so dass diese Karte ist$\mathbb{R}$-linear und erfüllt

$$v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g),$$ oder als Tangentenvektoren an Kurven, wobei in diesem Fall eine Äquivalenzbeziehung zwischen durchlaufenden glatten Kurven im Spiel ist $p$.

Die Verbindung zwischen den beiden kann wie folgt angegeben werden: Wenn$\gamma$ist eine glatte Kurve auf$M$, durch$p$bei$t_0$, Und$f$ist eine glatte Funktion, die in einer offenen Nachbarschaft definiert ist$p$, dann der Tangentenvektor der Kurve$\gamma$bei$p$ergibt sich aus der Ableitung (at$p$) beschrieben als

$$v(f)=\left.\frac{d}{dt}(f\circ\gamma)\right|_{t=t_0}.$$ Weiterhin kann gezeigt werden, dass alle Ableitungen auf diese Weise entstehen.

Ich werde dies als Beispiel verwenden, da es sehr einfach ist, das Verhalten von Vektorkomponenten auf diese Weise zu untersuchen.

Weil$\varphi^{-1}\circ\varphi=\text{Id}$die Identitätsfunktion können wir schreiben

$$\left.\frac{d}{dt}(f\circ\gamma)\right|_{t=t_0}=\left.\frac{d}{dt}(f\circ\varphi^{-1}\circ\varphi\circ\gamma)\right|_{t=t_0}.$$

Aber was ist$f\circ\varphi^{-1}$? Es ist die multivariable Funktion , die die abbildet$x$-Koordinaten zu Zahlen anstelle von abstrakten Punkten$p$. Und was ist$\varphi\circ\gamma$? Es ist der$\mathbb{R}^n$-bewertete Kurve$(\varphi\circ\gamma)(t)=(x^1(t),...,x^n(t))$(Warnung!! Starker Notationsmissbrauch hier!), der eine Ein-Parameter-Familie von beschreibt$x$-Koordinaten statt abstrakt$p$-Punkte!

Insbesondere können wir die übliche Kettenregel der gewöhnlichen Infinitesimalrechnung verwenden, um diese Ableitung auszuwerten, und wir erhalten

$$\left.\frac{d}{dt}(f\circ\varphi^{-1}\circ\varphi\circ\gamma)\right|_{t=t_0}=\frac{\partial(f\circ\varphi^{-1})}{\partial x^\mu}\frac{d (x^\mu\circ\gamma)}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x^\mu}\frac{d x^\mu}{dt},$$ wo 1) alle Ableitungen ausgewertet werden, wo nötig, 2) in der letzten Gleichung haben wir wieder einmal einen massiven Notationsmissbrauch begangen, 3) die Summationskonvention ist in Kraft.

Aber das ist selbstverständlich$v(f)$, damit wir "entkoppeln" können$f$daraus, und schreibe$v$als

$$v=\frac{d x^\mu}{dt}\frac{\partial}{\partial x^\mu}.$$ Noch einmal die $t$-Derivat an der richtigen Stelle bewertet wird, und wir stellen fest, dass $\partial/\partial x^\mu$ist keine partielle Ableitung, sondern eine Ableitung, die wirkt, indem sie die partielle Ableitung der Funktion nimmt$x$-Koordinatendarstellung (!!!) (so $\partial/\partial x^\mu$wirkt auf $f$, aber die eigentlichen partiellen Ableitungen wirken weiter $f\circ\varphi^{-1}$). Hier können wir schreiben $$v=v^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu},$$ Wo $v^\mu=dx^\mu/dt|_{t=t_0}$und wir nennen die $v^\mu$die Bestandteile von $v$in der Grafik $\varphi$.

Auch das können wir prüfen

$$\frac{\partial}{\partial x^\mu}(x^\nu)=\frac{\partial (x^\nu\circ\varphi^{-1})}{\partial x^\mu}=\delta^\nu_\mu,$$ also haben wir $$v^\nu=v(x^\nu).$$

Wir können dann fragen, was die Komponenten von sind$v$in Bezug auf die Koordinaten$y$? Wir evaluieren

$$v(y^\nu)=v^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu}(y^\nu)=v^\mu\frac{\partial(y^\nu\circ\varphi^{-1})}{\partial x^\mu}=v^\mu\frac{\partial y^\nu}{\partial x^\mu},$$ wo die letzte Gleichung ist - im Wesentlichen ein Notationsmissbrauch.

(Diese Antwort setzt voraus, dass Sie die Differentialgeometrie kennen und nur wissen möchten, wie der Physiker diesen Ausdruck erhält.)

Lassen$V,W\subset\mathbb{R}^n$Und$\psi : V\to U$Und$\phi : W\to U'$Diagramme sein für$U,U'\subset M$auf irgendeiner Mannigfaltigkeit$M$. Dann der "Koordinatenwechsel" auf$U\cap U'$ist die Übergangsfunktion

$$\phi^{-1}\circ \psi : V\to W.$$ Diese Funktion induziert eine natürliche Abbildung zwischen Tangentenvektoren, den Pushforward $$\mathrm{d}(\phi^{-1}\circ \psi) : TV\to TW,$$ das ist der Jacobi der Transformation, dh an jedem Punkt $x\in V$, wir haben $$\mathrm{d}(\phi^{-1}\circ \psi)_x : T_xV\to T_xW, v\mapsto J(\phi^{-1}\circ\psi)(x)\cdot v.$$ Geschrieben in den Standardkoordinaten der $\mathbb{R}^n$beide $V$Und $W$Teilmengen von sind, ist die Jacobi-Matrix genau die Matrix mit Komponenten $\frac{\partial x'^a}{\partial x^b}$du fragst wo $x' = \phi^{-1}\circ \psi$.

Wir wollen die Funktionen$\psi$genau deshalb differenzierbar sein, weil wir wollen, dass sie diese Abbildung zwischen Tangentenvektoren liefern. Wenn die Abbildungen nicht differenzierbar sind, wird keine natürliche Abbildung auf den Tangentenvektoren induziert.

Denken Sie daran, wenn$X$ist ein Vektorraum mit Basis$(e_1,\ldots,e_n)$und entsprechender Doppelbasis$(e^1,\ldots,e^n)$, Dann$w = e^i(w)e_i$, für alle$w\in X$.

Wir wenden dies für jeden Tangentialraum der Mannigfaltigkeit an. Grundlage ist$(\partial/\partial x^1,\ldots,\partial/\partial x^n)$und das duale ist$(dx^1,\ldots,dx^n)$. Bedeutet, dass$V^a=dx^a(V)$. Ähnlich,$V^{'a}=dx^{'a}(V)$. Nun, die Kettenregel sagt das

$$dx^{'a} =\frac{\partial x^{'a}}{\partial x^b} dx^b ,$$ woher alles in Anwendung $V$gibt $$V^{'a} =\frac{\partial x^{'a}}{\partial x^b} V^b,$$ wie gewünscht.