Paralleltransport eines Vektors

Es gibt eine parametrisierte Kurve γ ( τ ) auf einen 4 -schwacher Verteiler. Der selbstparallele Vektor X a ( τ ) zur Kurve zu finden ist. Per Definition von autoparallelen Vektoren muss die kovariante Ableitung eines Vektors entlang der Kurve Null sein.

In einem Lehrbuch wird es wie folgt wiedergegeben:

∂ X a ∂ τ + Γ β σ a X β D γ σ D τ = 0

Ich bin verwirrt darüber, warum der Begriff D γ σ D τ hinzugefügt? Nichts Ähnliches findet sich in der Definition der kovarianten Ableitung.

Sollte nicht X a ( τ ) Sei D γ a D τ weil X a ( τ ) ist ein Vektor zu γ ( τ ) ?
X a = X a ( τ ) ist für Kurzschrift geschrieben.
Kovariante Ableitung von v β entlang Vektor U a Ist ∇ U v = U a v ; a β .

Antworten (1)

Wie Sie bemerken, wird ein Vektor parallel transportiert, wenn seine kovariante Ableitung entlang einer Kurve Null ist. Anders ausgedrückt, wenn v a = D γ a / D τ die Tangente an die Kurve ist, dann lautet die Paralleltransportgleichung

v σ ∇ σ X a = v σ ∂ σ X a + v σ Γ a β σ X β = 0.
(In Bezug auf die herkömmliche Vektorrechnung ist dies so, als würde man das sagen ( v → ⋅ ∇ → ) X → = 0 .) Aber
v σ ∂ σ = D γ σ D τ ∂ ∂ γ σ = D D τ
und so wird die obige Gleichung
v σ ∇ σ X a = D X a D τ + D γ σ D τ Γ a β σ X β = 0 ,
wie gewünscht.

Danke schön! Der Schlüsselpunkt hier war, das zu verstehen γ ( τ ) = ( γ 0 ( τ ) , γ 1 ( τ ) , γ 2 ( τ ) , γ 3 ( τ ) ) . Wo γ a sind Raumzeitkoordinaten.
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