Angenommene Symmetrie von Christoffel-Symbolen

Question

Angenommene Symmetrie von Christoffel-Symbolen

Shaz

Unter Bezugnahme auf die Diskussion in einer früheren Frage zur Unabhängigkeit von metrischen und Christoffel-Symbolen wurde diskutiert, dass die Symmetrie der Christoffel-Symbole ( $\Gamma_{\mu\nu}^{\alpha} = \Gamma_{\nu\mu}^{\alpha}$ ) wird "angenommen", und daher gibt es Versionen der klassischen GR- und Quantengravitationstheorien, die diese angenommene Symmetrie brechen, um allgemeinere Ergebnisse abzuleiten.

Ich bin Schutz gefolgt, um GR zu studieren und verschiedene Größen darin zu berechnen. Im Bild unten poste ich (Bild von) einen Teil von p. 133, wo sie scheinbar die Symmetrie der Christoffel-Symbole "beweisen" (anstatt sie nur anzunehmen).

Als Referenz ist die im Text erwähnte Gleichung 5.72 die verschwindende kovariante Ableitung des metrischen Tensors. Und 5,63 ist die kovariante Ableitung eines Tensors zweiten Ranges.

Ich vermute, es gibt einen subtilen "Punkt", den ich hier vermisse, weil sie die Symmetrie im Buch nicht "annehmen", sie "bewiesen" haben.

Kann jemand etwas Licht ins Dunkel bringen, wie die Symmetrie hier bewiesen wird und warum nicht angenommen wird?

Valter Moretti

Der Text bezieht sich auf kartesische Koordinaten . Es wird also a priori angenommen , dass es ein bestimmtes Koordinatensystem gibt , in dem zweite (kovariante) Ableitungen pendeln . Die richtig bewiesene Konsequenz ist, dass die Verbindungskoeffizienten in jedem Koordinatensystem symmetrisch sind.

Antworten (2)

Angenommene Symmetrie von Christoffel-Symbolen

Der Text bezieht sich auf kartesische Koordinaten . Es wird also a priori angenommen , dass es ein bestimmtes Koordinatensystem gibt , in dem zweite (kovariante) Ableitungen pendeln . Die richtig bewiesene Konsequenz ist, dass die Verbindungskoeffizienten in jedem Koordinatensystem symmetrisch sind.

QMechaniker · Answer 1

Es gibt kein kostenloses Mittagessen! :-) Schutz beweist ohne zusätzliche Annahmen nicht auf magische Weise, dass die Verbindung torsionsfrei ist. Vielmehr geht er davon aus , dass die Verbindungssymbole $\Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta}$ sind in einem Koordinatensystem symmetrisch, und da die Torsion ein Tensor ist, sind sie in jedem Koordinatensystem symmetrisch.
Genauer gesagt: Gekrümmte Mannigfaltigkeiten werden zuerst in Kapitel 6 eingeführt. Das ganze Kapitel 5 handelt von krummlinigen Koordinaten in der Minkowski-Raumzeit . In der Minkowski-Raumzeit (ausgestattet mit ihrer Levi-Civita-Verbindung) existieren kartesische Koordinaten , wo die Verbindungssymbole sind $\Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta}$ verschwinden, vgl. die Gl. vor Gl. (5.73).

Cham · Answer 2

Die Torsionsfreiheit wird in diesem "Beweis" bereits von vornherein vorausgesetzt. Bei Schutz sagt man, dass die zweite kovariante Ableitung eines Skalarfeldes in kartesischen Koordinaten ist

\begin{matrix} (1) & ϕ_{, β; a} = \frac{\partial}{\partial X^{a}} \frac{\partial}{\partial X^{β}} ϕ, \end{matrix}

$\tag{1} \phi_{,\beta;\alpha} = \frac{\partial \, }{\partial \, x^{\alpha}} \, \frac{\partial \,}{\partial \, x^{\beta}} \, \phi,$

davon geht er schon aus

a) Die Raumzeit ist flach und $g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu}$ (Minkowski-Raumzeit, bedeckt mit kartesischen Trägheitskoordinaten),

b) Der Verzerrungstensor ist 0, was bedeutet, dass die Verbindung symmetrisch ist.

Im Allgemeinen ist die zweite kovariante Ableitung eines skalaren Felds auch in kartesischen Koordinaten dies:

\begin{matrix} (2) & ϕ_{, β; a} = \frac{\partial}{\partial X^{a}} \frac{\partial}{\partial X^{β}} ϕ - Γ_{a β}^{λ} \frac{\partial}{\partial X^{λ}} ϕ . \end{matrix}

$\tag{2} \phi_{,\beta;\alpha} = \frac{\partial \, }{\partial \, x^{\alpha}} \, \frac{\partial \,}{\partial \, x^{\beta}} \, \phi - \Gamma_{\alpha \beta}^{\lambda} \, \frac{\partial \,}{\partial \, x^{\lambda}} \, \phi.$

Die Verbindung (in beliebigen Koordinaten) kann in ihren Christoffel-Teil (Levi-Civita) und einen Verzerrungsteil zerlegt werden (ich gehe nur von der Kompatibilitätsbedingung aus: $\nabla_{\lambda} \, g_{\mu \nu} = 0$ ) :

\begin{matrix} (3) & Γ_{a β}^{λ} = {\tilde{Γ}}_{a β}^{λ} + K_{a β}^{λ}, \end{matrix}

$\tag{3} \Gamma_{\alpha \beta}^{\lambda} = \tilde{\Gamma}_{\alpha \beta}^{\lambda} + K_{\alpha \beta}^{\lambda},$

Wo $\tilde{\Gamma}_{\alpha \beta}^{\lambda}$ sind die Christoffel-Symbole. Auch in kartesischen Koordinaten sind die Christoffel-Symbole nicht-triviale Funktionen von $x^{\mu}$ im Allgemeinen, außer wenn die Metrik flach ist (dh Minkowski-Raumzeit und Trägheitsrahmen). So $\tilde{\Gamma}_{\alpha \beta}^{\lambda}$ bricht auch in kartesischen Koordinaten nicht ab! Selbst wenn $g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu}$ Und $\tilde{\Gamma}_{\alpha \beta}^{\lambda} = 0$ , der Verzerrungstensor verschwindet nicht und Gl. (1) ist falsch.

Ich mag diesen "Beweis" von Schutz wirklich nicht, weil er eine Menge Zeug verbirgt und für viele Studenten der Allgemeinen Relativitätstheorie verwirrend sein könnte.

Beachten Sie dies in einem Nebenkommentar $\tilde{\Gamma}_{\alpha \beta}^{\lambda} \ne 0$ sogar in der mit kartesischen Koordinaten bedeckten Minkowski-Raumzeit! Sie müssen auch angeben, dass die kartesischen Koordinaten inertial sind , um die Christoffel-Symbole aufzuheben. Zum Beispiel ist die in einem beschleunigten Rahmen (oder Rindler-Rahmen) ausgedrückte Minkowski-Metrik wie folgt:

\begin{matrix} (4) & D S^{2} = (1 + G X)^{2} D T^{2} - D X^{2} - D j^{2} - D z^{2} . \end{matrix}

$\tag{4} ds^2 = (1 + g \, x)^2 \, dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2.$

Sogar in diesen kartesischen Koordinaten haben wir $\tilde{\Gamma}_{\alpha \beta}^{\lambda} \ne 0$ (aber die Raumzeit ist immer noch flach).

Angenommene Symmetrie von Christoffel-Symbolen

Shaz

Valter Moretti

Antworten (2)

QMechaniker

Cham

Auf Christoffel-Symbol- und Vektorfeldern

Ist ein metrisches Tensorfeld dasselbe wie ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds² = -dt² + dx²+ dy² + dz²?

Von Verteiler zu Verteiler?

Tensorgleichungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Frage zum Pseudotensor mit vollständig antisymmetrischer Einheit

Motivation für kovariante Ableitungsaxiome im Kontext der Allgemeinen Relativitätstheorie

Metrischer Tensor: Warum auf kartesische/Minkowski-Koordinaten beziehen?

Frage zu Mannigfaltigkeiten und Koordinatentransformationen

Berechnung der Koordinatenbasis

Ein Zweifel an der Berechnung von Tetradenbasisvektos eines nichtdiagonalen metrischen Tensors