Berechnung der Koordinatenbasis

In der Allgemeinen Relativitätstheorie von Robert M. Wald ist die Definition der "Koordinatenbasis" (des Tangentialraums) einer Mannigfaltigkeit gegeben durch:

Lassen ψ : Ö → U ⊂ R N ein Diagramm mit sein P ∈ Ö . Wenn F ∈ F , dann per Definition F ∘ ψ − 1 : U → R Ist C ∞ . Für μ = 1 , . . . , N definieren X μ : F → R von

X μ ( F ) = ∂ ∂ X μ ( F ∘ ψ − 1 ) | ψ ( P ) .

Die Basis { X μ } von v P heißt Koordinatenbasis. Hätten wir ein anderes Diagramm gewählt, ψ ' , wir hätten eine andere Koordinatenbasis erhalten { X v ' } . Wir können natürlich ausdrücken X μ in Bezug auf die neue Basis { X v ' } . Unter Verwendung der Kettenregel der fortgeschrittenen Analysis haben wir

X μ = ∑ v = 1 N ∂ X ' v ∂ X μ | ψ ( P ) X ' v .

Diese Definition scheint jedoch nicht „richtig“ zu sein.

Lassen Ö Sei R 2 und lass Ψ das Identitätsdiagramm sein. In diesem Fall bekommen wir das

X 1 ( F ) = ∂ F ∂ X
X 2 ( F ) = ∂ F ∂ j
was in Ordnung ist. Wenn wir jetzt aber ein anderes Diagramm wählen, ψ ' , das ist das "Polarkoordinatensystem", das durch gegeben ist ψ ( R , θ ) = ( R cos ⁡ θ , R Sünde ⁡ θ ) ; ψ − 1 ( X , j ) = ( X 2 + j 2 , arctan ⁡ j / X ) .

Von der Kettenregel scheint es so, als ob wir das wollen

X 1 = ∂ F ∂ X = ∂ F ∂ R ∂ R ∂ X + ∂ F ∂ θ ∂ θ ∂ X = ∂ R ∂ X X R ' + ∂ θ ∂ X X θ '

Oder mit anderen Worten, X 1 ' = X R ' = ∂ F ∂ R , X 2 ' = X θ ' = ∂ F ∂ θ . Aber wenn wir rechnen X 1 ' Und X 2 ' aus der Definition erhalten wir:

X 1 ' = ∂ ∂ X ( F ~ ∘ ψ ' − 1 ) | ψ ' ( P ) .
(Wo F ( X , j ) = F ~ ( R cos ⁡ θ , R Sünde ⁡ θ ) = F ~ ( R , θ ) . )
X 1 ' = ∂ F ~ ∂ R ∂ R ∂ X + ∂ F ~ ∂ θ ∂ θ ∂ X .

Wie genau sollen wir die für das Polarkoordinatendiagramm gegebene Definition anwenden?

Antworten (2)

Hilfreich ist das Diagramm auf Seite 15. Die Achsen Ihres Diagramms sind nicht x und y. Ihre Achsen sind beschriftet θ Und R . Es ist sehr wichtig zu verstehen, dass das Diagramm buchstäblich nur eine Beschriftung ist R N .

F ist auf dem Verteiler definiert. Nicht das Diagramm. Aber Sie haben eine Zuordnung von der Mannigfaltigkeit zum Diagramm.

Deshalb,

F | P = F ( R , θ )   | ψ − 1 ( R , θ ) .

X θ ( F ) = ∂ ∂ X θ ( F ∘ ψ − 1 ( R , θ ) )

oder

∂ F ∂ θ = ∂ ∂ θ ( F ∘ ψ − 1 ( R , θ ) )

Wenn G : ( R , θ ) → ( X ( R , θ ) , j ( R , θ ) ) Dann

∂ F ∂ θ = ∂ ∂ θ ( F ∘ G ∘ ψ − 1 ( R , θ ) )

Wenden Sie dann die Kettenregel an, um zu erhalten ∂ F ∂ θ = ∂ F ∂ X ∂ X ∂ θ + ∂ F ∂ j ∂ j ∂ θ .

Bitte zerstören Sie Ihre Antworten nicht.

Während @ExpertNonexpert Recht hat F ~ ist eine unnötige Fehlleitung, der Fehler, der wirklich zählt, ist in dieser Zeile:

X 1 ' = ∂ ∂ X ( F ~ ∘ ψ ' − 1 ) | ψ ' ( P ) .

Insbesondere wird die Ableitung in Bezug auf den falschen Parameter genommen. Es sollte sein

X 1 ' = ∂ ∂ X ' 1 ( F ∘ ψ ' − 1 ) | ψ ' ( P ) .

Und da X ' 1 ist nur θ , alles funktioniert wie erwartet.

Ja, aber mein Diagramm wurde geschrieben ( R , θ ) ↦ ( X , j ) was bedeuten würde, dass wir die Ableitung bzgl X Und j . Wenn ich @Expert Nonexpert verstehe, sollte das Diagramm eigentlich so angesehen werden P ∈ M ↦ ( R , θ ) .
"Mein Diagramm wurde geschrieben ( R , θ ) ↦ ( X , j ) ". Das ist kein Diagramm. Sie könnten es sich als Übergangskarte vorstellen , aber definitiv kein Diagramm. Es sieht so aus, als ob Ihre Verwirrung vielleicht darauf zurückzuführen ist, dass Sie nehmen Ö = R 2 , und jedes Diagramm ist eine Karte ψ : Ö → U , mit U = R 2 Auch. Aber das sind zwei verschiedene R 2 S. Am besten denken M Und Ö als Nebelräume. Koordinaten wie X , j , R , θ befinden sich nie wirklich in diesen Räumen; sie entsprechen lediglich Punkten in diesen Räumen.
@Jbag1212 Das Diagramm ist die Beschriftung. Das ist eine knifflige Vorstellung, weil wir diese Beschriftung für die Oberfläche der Kugel durchführen, indem wir Etiketten darauf kleben. Wir hören nicht auf und überlegen, wie wir das mathematisch ausdrücken können. Wenn wir das tun, ordnen wir effektiv die Punkte, die Lösungen der Gleichung r^2 = x^2 + y^2 +z^2 sind, den Beschriftungen zu. Das ist normalerweise nicht gestresst. Deshalb kann es verwirrend sein.
@Jbag1212 dann ist f an diesen Punkten definiert (x,y,z) =(x(theta,phi),y(theta,phi),z(theta,phi)). Wald bezieht sich auf a ψ und das ist auch schwierig, weil ψ ist die Zuordnung zum (Theta, Phi)-Diagramm. aber wir arbeiten in der Praxis kaum mit dieser mathematischen Funktion. wir sind viel vertrauter ψ − 1 mit x=rcos(theta) und y=rsin(theta)
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