Ein Zweifel an der Berechnung von Tetradenbasisvektos eines nichtdiagonalen metrischen Tensors

Der Standardweg, um eine orthonormale Basis (Tetrade) aus einer beliebigen linear unabhängigen Basis (z. B. Koordinatenbasis) in einem inneren Produktraum (metrisch) zu erhalten, ist die Gram-Schmidt-Orthonormalisierung .

Sie können dieses Verfahren einfach an jedem Punkt durchführen, ausgehend von der Koordinatenbasis, wodurch Sie eine der vielen möglichen orthonormalen Tetraden erhalten. Wenn Sie eine andere wünschen, können Sie eine lokale Lorentz-Transformation anwenden.

Ich glaube, dass für JEDEN gegebenen metrischen Tensor (diagonal oder nicht) der Vektor, den Sie in (1) angeben, die Elemente der Basis sein wird (sie sind auch normalisiert), in der Ihr metrischer Tensor geschrieben ist, aber sie sind nur linear unabhängig, aber nein notwendig orthogonal.

Sie sind nur dann orthogonal, wenn der metrische Tensor, den Sie erhalten, diagonal ist. Andernfalls können Sie wie in der Kerr-Metrik, die Sie geschrieben haben, sehen, dass in (1) e_0 nicht orthogonal zu e_3 ist, indem die Kerr-Metrik im inneren Produkt verwendet wird. Nun sind die Vektoren in (2) nur der Gram-Schmidt-Algorithmus, um eine orthonormale Basis (2) aus der nicht-orthogonalen Basis (1) zu erzeugen.

Und wenn Sie jetzt die Kerr-Metrik auf der neuen Basis (2) schreiben, werden Sie sehen, dass die Matrix diagonal ist. Eine einfachere Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, die Substitution vorzunehmen$t=Nt'-w\phi$und sehen Sie, dass es zwischen den Begriffen Überschneidungen geben wird$dt'$Und$d\phi$

So würde ich es machen. Lass mein$g$sei mein metrischer Tensor. In Bezug auf ein Koordinatensystem der Wahl kann ich dies aufschreiben als

$$g = g_{\mu \nu} \mathrm{d}x^\mu \otimes \mathrm{d}x^\nu$$

wie Sie in Teil II Ihrer Frage haben, wo$\mu , \nu$sind Koordinatenindizes. Definieren Sie die Tetraden-Basisvektoren als

$$e_a = e_a^{\ \mu} \frac{\partial}{\partial x^\mu}, \quad a = 0,1,2,3.$$

Per Definition ist die Tetrade eine orthonormale Basis, also müssen sie genügen$g(e_a , e_b) = \eta_{ab}$, Wo$\eta_{ab} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)$ist die Minkowksi-Metrik. Bezogen auf die Komponenten lautet diese Relation

$$e_a^{\ \mu} e_b^{\ \nu} g_{\mu \nu} = \eta_{ab}$$

Mit anderen Worten, die Tetradenbasis diagonalisiert die Metrik. Das Finden der Tetradenbasis ist also äquivalent zum Finden einer Matrix$e_a^{\ \mu}$was die Matrix diagonalisiert$g_{\mu \nu}$! Wenn Sie diese gefunden haben, können Sie die Komponenten anschließen$e_a^{\ \mu}$zurück in den Ausdruck für die obige Tetrade.

Für Ihr Beispiel haben Sie eine Metrik der Form

$$g = -A^2 \mathrm{d}t^2 + B^2 \mathrm{d}r^2 + C^2 \left[ \mathrm{d}\theta^2 + D^2(\mathrm{d}\phi - E \mathrm{d}t )^2 \right]$$

Die Komponenten$g_{\mu \nu}$in deinem Fall sind

$$g_{\mu \nu} = \begin{pmatrix} -A^2 + C^2 D^2 E^2 & 0 & 0 & -C^2D^2E \\ 0 & B^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & C^2 & 0 \\ -C^2 D^2 E & 0 & 0 &C^2 D^2 \end{pmatrix}$$

die durch diagonalisiert wird

$$e_a^{\ \mu} = \begin{pmatrix} \frac{1}{A} & 0 & 0 & \frac{E}{A} \\ 0 & \frac{1}{B} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{C} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{CD} \end{pmatrix}$$

was Ihnen die Komponenten Ihrer vier Tetraden-Basisvektoren in Ihrer Gleichung (2) gibt.

Da metrische Tensoren symmetrische Tensoren sind, können Sie sie immer diagonalisieren, um eine Tetrade zu finden, und die Komponenten der Tetrade sind durch die Zeilen der Matrix gegeben, die sie diagonalisieren.

Übrigens werden Sie im Allgemeinen kein einziges Tetradenfeld finden können, das Ihre gesamte Raumzeit abdeckt, sonst würde dies bedeuten, dass Ihre Raumzeit tatsächlich trivial Minkowski ist! Auch die Tetradenbasis ist nicht eindeutig und bis auf eine Lorentztransformation definiert, dh wenn$\{ e_a \}$eine Tetradenbasis ist, dann ist es so$\{ e'_a = \Lambda_a^{\ b} e_b \}$, Wo$\Lambda$ist eine Lorentztransformation.