Gibt es einen intuitiven Grund dafür, warum Tensoren in der Physik so allgegenwärtig sind?

Als Anfänger kann ich sehen, woher verschiedene individuelle Tensoren in der Physik kommen, aber ich versuche, eine Intuition dafür zu entwickeln, warum dieses Objekt - definiert durch ein ziemlich spezifisches Transformationsgesetz - so weit verbreitet ist.

Hier ist ein Argument, das ich habe - aber nicht sicher bin, ob das überhaupt Sinn macht:

  1. Wir möchten Gruppen von physikalischen Größen definieren, bei denen das Ganze bei Koordinatenänderungen irgendwie unveränderlich ist.
  2. Nehme an, dass [ u 0 , u 1 , . . . , u N ] verwandelt sich in [ v 0 , v 1 , . . . , v N ] nach einer Koordinatentransformation. Eine etwas generische Art, das Transformationsgesetz zu schreiben, ist v ich = F ich ( u 0 , . . . , u N , T 0 , . . . , T N ) Wo T ist ein Faktor, der von den Besonderheiten der Koordinatentransformation abhängt.
  3. Wenn wir die Erweiterung der Taylor-Reihe oben aufschreiben, erhalten wir Terme mit quadratischen oder höheren Potenzen u N . Schlüssel : Diese sollten alle basierend auf der Dimensionsanalyse verworfen werden.
  4. Damit bleiben nur die linearen Terme übrig: F ich ( u 0 , . . . , u N , T 0 , . . . , T N ) = ∑ N T N u N , was dasselbe ist wie das Tensortransformationsgesetz.

Ist es angemessen, hier die Dimensionsanalyse im Kontext von Taylor-Erweiterungen zu verwenden? Und insgesamt - gibt es einen intuitiveren Grund für die Allgegenwart von Tensoren in der Physik?

Ihre Argumentation 3 ist nicht korrekt, die Terme in der Taylor-Reihe haben alle die gleichen Dimensionen, da sie mit Ableitungen von vormultipliziert werden F die jeweils die umgekehrten Dimensionen haben u .
Auch wenn Sie das Formular in erhalten können 4 , das beweist das nicht T N haben die bei einer Tensortransformation gefundene Form, nämlich geeignete Produkte partieller Ableitungen.
Tatsächlich werden Tensoren auch für nichtlineare Effekte verwendet: zB Kerr-Effekt . Sie haben in diesen Fällen nur einen höheren Rang.

Antworten (2)

Ich glaube, dass Tensoren in der Physik vorkommen, weil sie Darstellungen der bestehenden Symmetriegruppen von Raum (Zeit) sind, wie z. B. die Lorentz-Gruppe oder die Rotationsgruppe.

Der Grund, warum Tensoren in der Physik so häufig vorkommen, hat wirklich mit dem zugrunde liegenden mathematischen Rahmen zu tun, der verwendet wird. Typischerweise werden physikalische Theorien auf speziellen Arten von Räumen aufgebaut, die Mannigfaltigkeiten genannt werden. Es gibt viele verschiedene mathematische Objekte, die auf einer Mannigfaltigkeit konstruiert werden können, wie zum Beispiel: Funktionen, Vektoren, duale Vektoren, Formen und natürlich Tensoren. Im Allgemeinen haben Tensoren eine sehr genaue mathematische Definition, aber in lokalen Koordinaten kann man zeigen, dass Tensoren ein eindeutig definierendes Transformationsgesetz unter einem Koordinatenwechsel haben. Tensoren fassen in ihrer Definition viele verschiedene mathematische Objekte zusammen, die durch ihren Rang gekennzeichnet sind.

Ich bin mir nicht sicher, ob dies zu viel Intuition über Tensoren selbst vermittelt, aber ich würde sagen, dass es unter solchen Umständen nützlich ist, sich einer mathematischen Erklärung zuzuwenden. Versuchen Sie vielleicht, etwas Differentialgeometrie mit Anwendungen in der Physik zu studieren. Ich denke, das würde Ihnen einige der Antworten geben, nach denen Sie suchen.

Gibt es einen intuitiven Grund dafür, warum Tensoren in der Physik so allgegenwärtig sind?
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