Koordinatentransformation von Skalarfeldern in QFT

Hier ist, was wirklich los ist. In der klassischen Feldtheorie sind Skalarfelder eine Grundmenge von Objekten, die wir oft betrachten$\phi:M\to \mathbb R$Wo$M$ist eine Mannigfaltigkeit. Nun können wir uns folgende Frage stellen:

Gibt es eine natürliche Vorstellung davon, wie sich ein Skalarfeld, das auf einer gegebenen Mannigfaltigkeit definiert ist, unter einer Koordinatentransformation "transformiert"?

Ich behaupte, dass die Antwort ja ist, und ich werde versuchen, meine Behauptung sowohl mathematisch als auch physikalisch zu rechtfertigen. Das Fazit ist, dass wir letztendlich definieren müssen, wie sich Felder bei bestimmten Arten von Transformationen transformieren, aber jede alte Definition wird nicht unbedingt in Mathematik oder Physik nützlich sein, also müssen wir gut begründete Definitionen treffen und dann zeigen, dass sie es sind nützlich für die Modellierung physikalischer Systeme.

Mathematische Perspektive. (Mannigfaltigkeiten und Koordinatendiagramme)

Denken Sie daran, dass ein Koordinatensystem (auch bekannt als Koordinatendiagramm) auf einem$n$-dimensionale Mannigfaltigkeit$M$ist eine (hinreichend glatte) Abbildung$\psi:U\to \mathbb R^n$Wo$U$ist eine offene Teilmenge von$M$. Wir können ein solches Koordinatensystem verwenden, um eine Koordinatendarstellung zu definieren$\phi_\psi$des Skalarfeldes$\phi$als

$$\begin{align} \phi_\psi = \phi\circ\psi^{-1}:V\to\mathbb R \end{align}$$ Wo $V$ist das Bild von $U$unter $\psi$. Lassen Sie nun zwei Koordinatensysteme $\psi:U_1\to \mathbb R^n$Und $\psi_2:U_2\to\mathbb R^n$so gegeben werden $U_1\cap U_2\neq \emptyset$. Die Koordinatendarstellung von $\phi$in diesen beiden Koordinatensystemen ist $\phi_1 = \phi\circ \psi_1^{-1}$Und $\phi_2 = \phi\circ \psi_2^{-1}$.

Betrachten Sie nun einen Punkt$x\in U_1\cap U_2$, Dann$x$ist bis zu einem gewissen Punkt abgebildet$x_1\in \mathbb R^n$unter$\psi_1$und bis zu einem gewissen punkt$x_2\in \mathbb R^n$unter$\psi_2$. Wir können also schreiben

$$\begin{align} \phi(x) &= \phi \circ \psi_1^{-1} \circ \psi_1(x) = \phi_1(x_1) \\ \phi(x) &= \phi \circ \psi_2^{-1} \circ \psi_2(x) = \phi_2(x_2) \end{align}$$ so dass $$\begin{align} \phi_1(x_1) = \phi_2(x_2) \end{align}$$ Mit anderen Worten, der Wert der Koordinatendarstellung $\phi_1$an der Koordinatendarstellung ausgewertet $x_1 = \psi_1(x)$des Punktes $x$stimmt mit dem Wert der Koordinatendarstellung überein $\phi_2$an der Koordinatendarstellung ausgewertet $x_2 = \psi_2(x)$vom gleichen Punkt $x$. Dies ist eine Möglichkeit zu verstehen, was es bedeutet, dass ein Skalarfeld bei einer Änderung der Koordinaten "invariant" ist.

Wenn insbesondere der Krümmer$M$wir erwägen ist$\mathbb R^{3,1} = (\mathbb R^4, \eta)$, nämlich vierdimensionaler Minkowski-Raum, dann könnten wir die folgenden zwei Koordinatensysteme betrachten:

$$\begin{align} \psi_1(x) &= x \\ \psi_2(x) &= \Lambda x+a \end{align}$$ Wo $\Lambda$ist eine Lorentz-Transformation und $a\in \mathbb R^4$, dann die Koordinatendarstellungen $\phi_1$Und $\phi_2$von $\phi$sind, wie oben erwähnt, verwandt durch $$\begin{align} \phi_1(x) = \phi_2(\Lambda x + a) \end{align}$$ Wenn wir die Schreibweise ein wenig ändern und schreiben $\phi_1 = \phi$Und $\phi_2 = \phi'$, dann liest sich das $$\begin{align} \phi'(\Lambda x +a) = \phi(x) \end{align}$$ Dies ist der Standardausdruck, den Sie in Texten zur Feldtheorie sehen werden.

Physikalische Perspektive.

Hier ist eine niederdimensionale Analogie. Stellen Sie sich ein Temperaturfeld vor$T:\mathbb R^2 \to \mathbb R$auf der Ebene, die eine reelle Zahl zuweist, die wir als Temperatur an jedem Punkt auf einer zweidimensionalen Oberfläche interpretieren. Nehmen wir an, dass dieses Temperaturfeld von einem Apparat unter der Oberfläche erzeugt wird, und nehmen wir an, dass wir den Apparat durch einen Vektor verschieben$\vec a$. Wir könnten uns jetzt fragen:

Wie sieht das Temperaturfeld aus, das der translatierte Apparat erzeugt? Nun, jeder Punkt in der Temperaturverteilung wird durch den Betrag übersetzt$\vec a$. Also zum Beispiel, wenn der Punkt$\vec x_0$Temperatur hat$T(\vec x_0) = 113^\circ\,\mathrm K$, dann, nachdem der Apparat übersetzt ist, der Punkt$\vec x_0 + \vec a$wird die gleiche Temperatur haben$113^\circ\,\mathrm K$als Punkt$\vec x_0$bevor der Apparat übersetzt wurde. Die mathematische Schreibweise dafür ist if$T'$bezeichnet dann das übersetzte Temperaturfeld$T'$bezieht sich auf$T$von

$$\begin{align} T'(\vec x+\vec a) = T(\vec x) \end{align}$$ Ein ähnliches Argument könnte für ein Skalarfeld im Minkowski-Raum angeführt werden, aber anstatt einfach einen Temperaturapparat zu verschieben, könnten wir uns vorstellen, etwas zu verstärken oder zu verschieben, das ein Lorentz-Skalarfeld erzeugt, und wir wären motiviert, das Transformationsgesetz eines Skalars zu definieren Feld unter Poincare-Transformation als $$\begin{align} \phi'(\Lambda x+a) = \phi(x) \end{align}$$

Sie könnten verwirren, was wir meinen, wenn wir sagen, dass Skalarfelder invariant sind . Unter einer Lorentz-Transformation ($x\rightarrow x^\prime = \Lambda x$) das Skalarfeld ($\phi(x)$) ist so definiert, dass transformiert wird als

$$\phi(x)\rightarrow\phi^\prime(x^\prime) = \phi(x) = \phi(\Lambda^{-1} x^\prime)$$ Wir sehen das also in den neuen Koordinaten $x^\prime$, unser Skalarfeld hat sich zu transformiert $\phi^\prime(x^\prime) = \phi(\Lambda^{-1}x^\prime)$. Ebenso unter einer Übersetzung $x\rightarrow x^\prime = x - a$wir haben $$\phi(x)\rightarrow \phi^\prime(x^\prime) = \phi(x) = \phi(x^\prime+a)$$ oder wenn $a$als infinitesimal angenommen wird, finden wir in erster Ordnung $a$ $$\phi(x)\rightarrow \phi^\prime(x^\prime) = \phi(x^\prime+a) = \phi(x^\prime) + a^\mu\partial_\mu\phi(x^\prime)$$ In diesen beiden Beispielen hat sich das Feld nicht transformiert (die Transformation war trivial), nur die Art und Weise, wie wir den Punkt darstellen. Wir wollen den Punkt schreiben $x$in Bezug auf unser neues Koordinatensystem ( $x^\prime$), woher diese Erweiterung kommt.