Sinn aus Kovarianz und Kontravarianz machen

Ich habe gerade etwas über ko- und kontravariante Vektoren gelesen und bin mir nicht sicher, ob ich es richtig verstanden habe: Wenn wir uns vorstellen, dass wir eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit haben M dann wird durch die Vektoren ein Tangentialraum aufgespannt ∂ 1 , . . . , ∂ N . Diese Jungs wandeln sich von einem Koordinatensystem in ein anderes um

∂ ∂ X ich = ∂ j J ∂ X ich ∂ ∂ j J .
Diese Transformation wird laut Wikipedia als kovariante Transformation bezeichnet. Nun ist es erwähnenswert, dass die Kovektoren normalerweise die Elemente im dualen Raum sind. Die Basisvektoren des Dualraums sind gegeben durch D X 1 , . . . , D X N . Sie verwandeln sich anders als

D X ich = ∂ X ich ∂ j J D j J .

Obwohl wir Kovektoren transformieren, wird diese Transformation als kontravariant bezeichnet. Irgendwie scheint es also, als ob die Art der Transformation nicht zu der Art des Vektors passt, den wir hier betrachten, und ich verstehe nicht, warum das passiert.

Wenn Sie Fragen haben, hinterlassen Sie mir bitte einen Kommentar.

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/79013/2451 und darin enthaltene Links.
Verwirrt Sie das Präfix "co-". In "kovariant" wird es im Sinne von "variieren mit" verwendet. In "covector" wird es im Sinne von "dual to, entgegengesetzt" verwendet. Mit anderen Worten, "co-" hat hier zwei gegensätzliche Bedeutungen, und daher kann ich sehen, dass es etwas verwirrend ist, festzustellen, dass sich Covektoren nicht kovariant transformieren.
@DanPiponi das ist eine nette Erklärung. Aber hat das Präfix „co-“ in „covector“ nicht dieselbe Etymologie wie das „co-“ in „covariant“? Ich hätte vermutet, dass beide aus dem lateinischen „mit“ „zusammen“ kommen, was zwei Dinge voraussetzt, wie in „dual“.
Ich lag nicht ganz richtig. Covektoren transformieren sich kovariant und Vektoren transformieren sich kontravariant. Kovektoren sind kovariant, da die Matrix zum Transformieren ihrer Komponenten in eine neue Basis dieselbe Matrix ist, die zum Konstruieren der neuen Basis verwendet wird. (Kontravariante) Vektoren verwenden die Inverse. Zusammenfassung hier: en.wikipedia.org/wiki/Covariance_and_contravariance_of_vectors Aber ich bin mir immer noch ziemlich sicher, dass hier beide Bedeutungen von Co- verwendet werden. Siehe die kurze Erwähnung des kategorischen "Coconcept" im Wikipedia-Artikel, in dem der terminologische Konflikt erwähnt wird - tatsächlich die Quelle meines Fehlers.

Antworten (2)

In der modernen mathematischen Terminologie wird ein Funktor als kovariant bezeichnet , wenn er die Richtung der Morphismen beibehält, und als kontravariant, wenn er sie umkehrt. Für eine gegebene differenzierbare Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten (von denen ein Spezialfall offene Mengen innerhalb derselben Mannigfaltigkeit wären) ist die Ableitung eine Abbildung zwischen den zugehörigen Tangentenbündeln. Dies definiert einen kovarianten Funktor. Der Pullback von Differentialformen (Covektorfeldern) ist eine Karte zwischen den Covektorbündeln in die entgegengesetzte Richtung und definiert einen kontravarianten Funktor. Mit anderen Worten, die Zuordnung des Bündels von Vektorfeldern zu einer Mannigfaltigkeit ist ein kovarianter Funktor, die des Bündels von 1-Formen ist ein kontravarianter Funktor. Eine ziemlich verwirrende (scheinbare) Diskrepanz in der Terminologie.

Spivak sagt in seiner umfassenden Einführung in die Differentialgeometrie Band 1 darüber (Seite 113):

Die klassische Terminologie verwendete dieselben Wörter [kovariant und kontravariant], und sie hat dies zufällig umgekehrt: Ein Vektorfeld wird als kontravariantes Vektorfeld bezeichnet, während ein Abschnitt von T ∗ M heißt kovariantes Vektorfeld. Und niemand hatte die Frechheit oder Autorität, eine durch jahrelange Verwendung so geheiligte Terminologie umzukehren. Es ist also sehr einfach, sich zu merken, welche Art von Vektorfeld kovariant und welche kontravariant ist – es ist genau das Gegenteil von dem, was es logischerweise sein sollte.

Grundsätzlich werden Vektoren als kontravariant bezeichnet, weil sich ihre Komponenten entgegengesetzt zu den Basisvektoren transformieren: wenn unsere Koordinatenänderung so ist

∂ ∂ X ich = ∂ j J ∂ X ich ∂ ∂ j J

dann, wenn wir einen Vektor haben v , seine Bestandteile v X ich im X Koordinaten beziehen sich auf seine Komponenten v j ich von

v X ich = ∂ X ich ∂ j J v j J .

Nach der gleichen Logik werden 1-Formen als Covektoren oder kovariante Vektoren bezeichnet, da sich ihre Komponenten wie die Basisvektoren transformieren, während sich die Basiscovektoren wie die Komponenten von Vektoren transformieren.

Sinn aus Kovarianz und Kontravarianz machen
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v