Ist ∂αfα∂αfα\partial_\alpha f^\alpha koordinatenunabhängig?

An dieser Stelle in Schullers 9. Vorlesung über GR behauptet er, die Poisson-Gleichung für die Newtonsche Gravitationsfeldstärke sei

− ∂ a F a = 4 π G ρ ,
Wo a = 1 , 2 , 3 . Aber diese Gleichung wird normalerweise geschrieben als
∇ → ⋅ G → = − 4 π G ρ .

Ich kann sehen, dass ∂ a F a Und ∇ → ⋅ F → sind in kartesischen Koordinaten identisch, aber die Divergenz in sphärischen Koordinaten (und anderen) ist sicherlich komplizierter als nur ∂ a F a . Was rechtfertigt also Schullers Behauptung, dass das Obige wirklich die Poisson-Gleichung in einer koordinatenunabhängigen Umgebung ist?

Antworten (2)

Die durch die kovariante Ableitung definierte Divergenz,

∇ ich F ich
ist zwar koordinatenunabhängig; Das ist der springende Punkt bei einer kovarianten Ableitung. Allerdings ist, wie du schon sagtest, die Divergenz nicht gerade gleich ∂ ich F ich Im Algemeinen. Sie können die beiden in Beziehung setzen, indem Sie entweder die kovariante Ableitung erweitern,
∇ ich F ich = ∂ ich F ich + Γ J ich ich F J
oder nach Formel
∇ ich F ich = 1 G ∂ ich ( G F ich ) .
Schuller arbeitet wahrscheinlich in einem speziellen Koordinatensystem oder einer Klasse von Koordinatensystemen, in denen diese zusätzlichen Terme der Einfachheit halber verschwinden.

Das zweite ist nicht dasselbe wie das erste, sie sind nur identisch für verschwindende Torsion und Nichtmetrik. In metrisch-affinen Räumen Γ J ich ich Und G ich J sind unabhängige Variablen, in affinen Räumen gibt es keine vereinbarte/vordefinierte Metrik.
@OktayDoğangün Stimmt, aber ich antworte im Kontext eines Standard-GR-Kurses.
Vielleicht wäre es besser, wenn Sie dies als Haftungsausschluss angeben, um ein offenes Fenster für weitere Konzepte zu ermöglichen. Oder es ist meine selektive Wahrnehmung zum Thema

  1. Ein wesentlicher Punkt von Schullers 9. Vortrag ist, dass die Newtonsche Raumzeit aus einer bestimmten Perspektive gekrümmt ist . Tatsächlich ist das der eigentliche Titel des Vortrags.

  2. Bei 14:15 leitet er eine verkürzte 3er-Beschleunigung ein

    X ¨ a + ∑ β , γ = 1 3 Γ a β γ X ˙ β X ˙ γ   =   X ¨ a , a   ∈   { 1 , 2 , 3 } ,
    wodurch implizit impliziert wird, dass alle räumlichen Gamma-Symbole Γ a β γ = 0 sind null. An dieser Stelle hält er sich ganz kurz:

    "Das ist nicht die Beschleunigung, aber lass uns jetzt nicht darüber reden. Das kommt später."

  3. Kurz vor der 46-Minuten-Marke identifiziert er die spezifische Kraft mit 3 Gamma-Symbolen

    F a   =   − Γ a 00 , a   ∈   { 1 , 2 , 3 } ,
    und er folgert daraus, dass alle anderen Gammasymbolkomponenten verschwinden sollten, damit Newtons 2. Gesetz die Form der geodätischen Gleichung in der 4-dimensionalen Raumzeit annimmt.

  4. Also ja, der fehlende Begriff ∑ β = 1 3 Γ β a β in der räumlichen 3-Divergenz-Formel

    ∇ → ⋅ F →   =   ∑ a = 1 3 ∇ a F a   =   ∑ a = 1 3 ( ∂ a + ∑ β = 1 3 Γ β a β ) F a
    wird hier als Null angenommen.

Noch eine Phys.SE-Frage zur 9. Vorlesung.
Ist ∂αfα∂αfα\partial_\alpha f^\alpha koordinatenunabhängig?
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