Wie berechnet man die kovariante Ableitung ∇eβeα∇eβeα\nabla_{\bf e_\beta}{\bf e}_\alpha eines Basisvektors entlang eines anderen Basisvektors?

Question

Wie berechnet man die kovariante Ableitung ∇eβeα∇eβeα\nabla_{\bf e_\beta}{\bf e}_\alpha eines Basisvektors entlang eines anderen Basisvektors?

Physik
Kovarianz
Vektorfelder
Differenzierung
generelle Relativität
Differentialgeometrie

Benutzer41178

In meinem Relativitätskurs haben wir also kürzlich etwas über die kovariante Ableitung gelernt. es ist definiert als:

\nabla_{μ} v^{v} = \partial_{μ} v^{v} + Γ_{μ, λ}^{v} v^{λ}

$\begin{equation} \nabla_{\mu}V^{\nu} = \partial_{\mu}V^{\nu}+\Gamma^{\nu}_{\mu,\lambda}V^{\lambda} \end{equation}$ Wo

V^{μ}

$V^{\mu}$ ist ein Vektor, und

Γ_{μ, λ}^{ν}

$\Gamma^{\nu}_{\mu,\lambda}$ ist die Verbindung oder das Christoffel-Symbol. Also ich bin neulich auf folgendes gestoßen:

\nabla_{e_{β}^{'}} e_{a}^{'} = Γ_{a^{'} β^{'}}^{τ^{'}} e_{τ^{'}}^{'}

$\begin{equation} \nabla_{\mathbf{e}'_{\beta}}\mathbf{e}'_{\alpha} = \Gamma^{\tau'}_{\alpha'\beta'}\mathbf{e}'_{\tau'} \end{equation}$ Also interpretiere ich dies als die kovariante Ableitung von

e_{α}^{'}

$\mathbf{e}'_{\alpha}$ entlang

e_{β}^{'}

$\mathbf{e}'_{\beta}$ . Aufgrund der Definition dieses Derivats bedeutet dies jedoch nicht

e_{α}^{'}

$\mathbf{e}'_{\alpha}$ ist ein Vektorfeld? Es fällt mir schwer, die Bedeutung von "einem Vektorfeld von Basisvektoren" zu verstehen. Wären dies angesichts der Indexplatzierung nicht auch Formulare? Die kovariante Ableitung von etwas mit einem Index nach unten zu nehmen, ist für mich verwirrend.

Meine Hauptfrage ist also, dass ich dieses Ergebnis anscheinend nicht berechnen kann. Also wenn wir rechnen $\nabla_{\mathbf{e}'_{\beta}}\mathbf{e}'_{\alpha}$ Unter Verwendung der oben gezeigten Definition der kovarianten Ableitung erhalten wir:

\nabla_{e_{β}^{'}} e_{a}^{'} = (\partial_{μ} e_{a}^{'} + Γ_{μ v}^{λ} e_{λ}^{'}) e_{β}^{'}

$\begin{equation} \nabla_{\mathbf{e}'_{\beta}}\mathbf{e}'_{\alpha} = \left(\partial_{\mu}\mathbf{e}'_{\alpha}+\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}\mathbf{e}'_{\lambda}\right)\mathbf{e}'_{\beta} \end{equation}$

Wie zum Teufel soll ich also auf die oben gezeigte Formel kommen? Ich kann das sehen, wenn ich es gemacht habe $\mu = \alpha,\nu=\beta$ Und $\lambda = \tau$ , würde ich die richtige Form (so wie es aussieht) im zweiten Term bekommen. Aber was ist mit dem ersten Semester? Auch hier ist die Indexplatzierung seltsam. Jede Hilfe wäre willkommen!

Antworten (2)

Wie berechnet man die kovariante Ableitung ∇eβeα∇eβeα\nabla_{\bf e_\beta}{\bf e}_\alpha eines Basisvektors entlang eines anderen Basisvektors?

N0va · Answer 1

In Ihrer ersten Gleichung haben Sie den Ausdruck für die Komponenten der kovarianten Ableitung eines kontravarianten Vektorfelds angegeben $V^\nu$ . Ihre zweite Gleichung ist etwas anders, da haben Sie die kovariante Ableitung eines Basisvektors entlang eines Basisvektors: Wir haben es dort mit Vektoren zu tun.

Vektoren und Komponenten (von Vektoren) sind sehr unterschiedliche Objekte: Komponenten sind immer auf eine feste (gewählte) Menge von Basisvektoren bezogen, wobei Vektoren dagegen basisunabhängig sind. Davon abgesehen können Sie nicht einfach Vektoren in Ihre erste Gleichung einsetzen. Ihre erste Gleichung gilt nicht für Vektoren, sondern nur für Komponenten. Für die kovariante Ableitung eines Vektors entlang eines Vektors bräuchten Sie:

\begin{matrix} (1) & \nabla_{v} u = \nabla_{v^{ich} e_{ich}} u^{J} e_{J} = v^{ich} \nabla_{e_{ich}} u^{J} e_{J} = v^{ich} u^{J} \nabla_{e_{ich}} e_{J} + v^{ich} e_{J} \nabla_{e_{ich}} u^{J} = (v^{ich} u^{J} Γ_{ich J}^{k} + v^{ich} \frac{\partial u^{k}}{\partial X^{ich}}) e_{k} . \end{matrix}

$\nabla_\mathbf{v}\mathbf{u}=\nabla_{v^i\mathbf{e_i}}u^j\mathbf{e_j}=v^i\nabla_\mathbf{e_i}u^j\mathbf{e_j}=v^iu^j\nabla_\mathbf{e_i}\mathbf{e_j}+v^i\mathbf{e_j}\nabla_\mathbf{e_i}u^j=(v^iu^j \Gamma^k_{~ij}+v^i\frac{\partial u^k}{\partial x^i})\mathbf{e_k} \tag{1}.$ Im letzten Schritt haben wir das tatsächlich verwendet

\begin{matrix} (2) & \nabla_{e_{ich}} e_{J} = Γ_{ich J}^{k} e_{k}, \end{matrix}

$\nabla_{\mathbf{e_i}}\mathbf{e_j}=\Gamma^k_{~ij}\mathbf{e_k}\tag{2},$ Das ist eine Definition der affinen Verbindung: Die Basisvektoren ändern sich, wenn man sich von einem Punkt zu einem anderen in infinitesimaler Entfernung bewegt, und die Transformation, die diese Änderung beschreibt, ist die affine Verbindung.

Wenn man die linke Seite und die rechte Seite von (1) als Definition akzeptiert, kann man leicht verifizieren, dass (2) eine Konsequenz wäre (Menge $\mathbf{v}=\mathbf{e_i} \Leftrightarrow v^i=1$ Und $\mathbf{u}=\mathbf{e_j} \Leftrightarrow u^j=1$ aber beachte das jetzt $i$ Und $j$ sind keine längeren Summenindizes.) Aber Gleichung (2) hat eine tiefere Bedeutung als nur eine triviale Konsequenz von (1), da (2) tatsächlich verwendet wird, um (1) zu definieren. Gleichung (2) beschreibt wirklich die Krümmung des Raums: in Bezug auf die Änderung von Basisvektoren.

Also zu Ihrer Frage, ob die Basisvektoren Vektorfelder sind: Ja, natürlich sind sie das. Differentialgeometrie oder allgemeine Relativitätstheorie werden in diesem Fall nur dann nicht trivial: Wenn die Basisvektoren im Raum konstant wären, wäre die Metrik konstant und alle höheren Objekte würden verschwinden. Alle Objekte von GR sind formal gesehen Felder: Vektor-, Skalar- und sogar Tensorfelder der vierdimensionalen Raumzeit. Und selbst in der "klassischen" Differentialgeometrie wäre dies der Fall. Paradebeispiel: Die Basisvektoren auf der Oberfläche einer (2D) Kugel ändern sich mit Position/Winkel, deshalb hat die Oberfläche einer Kugel mathematisch betrachtet eine nicht verschwindende Krümmung.

Zu Ihrer Frage nach der "Natur" / Art der Gleichungen (1) und (2): Die kovariante Ableitung einer Komponente / eines Vektors ist ein Tensor vom Rang 2.

Vielen Dank für diese Antwort! Das klärt alle meine Verwirrungen auf.

Erik Jörgenfelt · Answer 2

Die Notation $e_i$ wird üblicherweise für Rahmenfelder (Basisvektorfelder) als allgemeinere Notation verwendet als $\partial_\mu$ . Die Verbindungsformen, $\gamma^i{}_j$ (beachten Sie, dass diese Indizes nicht tensorial sind) werden relativ zu den Rahmenfeldern so definiert, dass

\nabla_{v} e_{ich} = γ^{J}_{ich} (v) e_{J} = γ^{J}_{ich k} v^{k} e_{J},

$\nabla_v e_i = \gamma^j{}_i(v)e_j = \gamma^j{}_{ik}v^ke_j,$ und wir haben

\nabla_{e_{k}} e_{ich} = γ^{J}_{ich k} e_{J} .

$\nabla_{e_k}e_i = \gamma^j{}_{ik}e_j.$ Hier

γ^{i}_{j k}

$\gamma^i{}_{jk}$ sind die Bestandteile der Verbindungsformen. In einem Koordinatensystem

\partial_{μ}

$\partial_\mu$ wir haben

γ^{μ}_{ν σ} = Γ_{ν σ}^{μ}

$\gamma^\mu{}_{\nu\sigma} = \Gamma^\mu_{\nu\sigma}$ , die Christoffel-Symbole (aber natürlich könnten wir bezeichnen

γ^{i}_{j k}

$\gamma^i{}_{jk}$ von

Γ^{i}_{j k}

$\Gamma^i{}_{jk}$ oder

Γ_{j k}^{i}

$\Gamma^i_{jk}$ ; es ist nur eine Frage der Konvention). Tatsächlich beginnend mit einigen Postulaten für die kovariante Ableitung:

$\nabla_{fu + gv}T = f\nabla_uT + g\nabla_vT$ ,
$\nabla_v(T + Q) = \nabla_v T + \nabla_v Q$ ,
$\nabla_v(fT) = v(f) + \nabla_vT$ ,

Wo $u$ Und $v$ sind Vektorfelder, $f$ Und $g$ Funktionen und $T$ Und $Q$ Tensorfelder sind, können wir sehen, dass die Verbindungsformen existieren müssen, und die Formel für die kovariante Ableitung von Vektoren ableiten

\begin{aligned} \nabla_{u} v & = \nabla_{u^{ich} e_{ich}} v^{J} e_{J} \\ = u^{ich} \partial_{ich} v^{J} + u^{ich} γ^{k}_{J} (e_{ich}) v^{J} \\ = u^{ich} \partial_{ich} v^{k} + γ^{k}_{ich J} u^{ich} v^{J} . \end{aligned}

$\begin{align} \nabla_uv &= \nabla_{u^ie_i}v^je_j \\ &= u^i\partial_iv^j + u^i\gamma^k{}_j(e_i)v^j \\ &= u^i\partial_iv^k + \gamma^k{}_{ij}u^iv^j. \end{align}$ Formeln für allgemeinere Tensoren können hier weiter abgeleitet werden.

Um dies zu verstehen, könnte es hilfreich sein zu bemerken, dass wir für Rahmenfelder beliebige linear unabhängige Vektorfelder auswählen können, die den Tangentenraum an jedem Punkt in seinem Bereich überspannen. Ein Vektorfeld $v$ hat dann Komponenten $v^i$ gegeben von $v = v^ie_i$ . Obwohl dies ein äußerst hilfreiches Konzept ist, ist die Verwendung der abstrakten Indexnotation, bei der wir den Vektor selbst mit bezeichnen $v^i$ kann das manchmal durcheinander bringen. In ähnlicher Weise können wir Doppelrahmenfelder auf dem Kotangensbündel definieren $\omega^i$ ( $e^i$ wird auch häufig verwendet, und $\omega^i{}_j$ wird oft für die Verbindungsformen verwendet, obwohl ich selbst nie darauf gestoßen bin $e^i{}_j$ ) von $\omega^i(e_j) = \delta^i_j$ , und dann eine Eins-Form $\alpha$ hat Komponenten $\alpha_i$ gegeben von $\alpha = \alpha_i\omega^i$ . In dieser Notation

a (v) = a_{ich} ω^{ich} (v^{J} e_{J}) = a_{ich} v^{J} δ_{J}^{ich} = a_{ich} v^{ich},

$\alpha(v) = \alpha_i\omega^i(v^je_j) = \alpha_iv^j\delta^i_j = \alpha_iv^i,$ dh Kontraktion über Indizes. Allgemeinere Tensoren haben Komponenten, die durch die Tensorprodukte einer Reihe von definiert sind

e_{i}

$e_i$ :s und

ω^{i}

$\omega^i$ :S.

Wenn Sie möchten, können Sie die im gemeinsamen Koordinatenrahmen definierten Rahmenvektorfelder so berücksichtigen $e_i = e_i^\mu = e_i^\mu\partial_\mu$ , aber ich persönlich finde das nicht sehr aufschlussreich, außer wenn wir zu oder von einigen Koordinaten für die Notation übergehen. Vielleicht sollte ich darauf hinweisen, dass der Index $e_i$ ist auch nicht tensorial, sondern definiert die tensorialen Indizes $v^i$ . Diese Vermischung von tensorialen und nicht-tensorialen Indizes mag auf den ersten Blick verwirrend erscheinen, aber in der Praxis gewöhnt man sich schnell daran, zwischen ihnen zu unterscheiden.

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