Warum wird der Einheitsvektor als partielle Ableitung in GR dargestellt?

Kann jemand eine gute intuitive Erklärung geben, warum wir den Einheitsvektor als partielle Ableitung in GR darstellen und was das bedeutet?

Einheitsvektoren geben die Richtung an. In kartesischen Koordinaten sind diese Richtungen immer fest, und wir können sie ein für alle Mal definieren. Auf einer gekrümmten Fläche hingegen X ^ an einem Ort ist nicht dasselbe wie X ^ an einem anderen Ort. Intuitiv liefern partielle Ableitungen orthogonale Bewegungsrichtungen, die sich lokal wie die Einheitsvektoren in kartesischen Koordinaten verhalten.
Hallo. Darf ich fragen, was Sie unter einem Vektor (Einheit oder nicht) verstehen? Wie würden Sie einen Vektor beschreiben? Vielleicht würde es helfen, etwas von Ihrer Intuition darüber hinzuzufügen, was ein Vektor in Ihrem Beitrag ist, um die möglichen Antworten zu orientieren. Danke.
Ich kann mathematischer darüber sprechen, aber im Allgemeinen denke ich, dass Einheitsvektoren den Raum überspannen, ihre Größe eins ist und orthogonal zueinander ist. Es fällt mir schwerer zu glauben, dass Operatoren wie Ableitungen den Raum überspannen können ... Ich kann verstehen, dass der Gradientenvektor zum Beispiel den Raum tangiert, aber trotzdem, warum partielle Ableitungen den Raum überspannen können und warum wir ihn in GR sofort verwenden ?
Dies ist nur die Darstellung eines Vektorfeldes als Ableitung.

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Im Allgemeinen ist eine Mannigfaltigkeit M (der topologische Raum, der die Raumzeit mathematisch beschreibt) kein Vektorraum; es lässt keine lineare Struktur zu, und das liegt daran, dass eine Mannigfaltigkeit als eine Vereinigung von Patches definiert ist, die Abbildungen von der Mannigfaltigkeit zu einem Punkt im Raum enthalten R N (Auch die Koordinaten werden durch Projektionsabbildungen zu jedem der gegeben R N "Äxte", aber das betrachten wir hier nicht).

Nun definiert on einen als Tangentenvektor bezeichneten Gedanken auf zwei äquivalente (wie gezeigt werden kann) Arten:

  1. Entweder als Sammlung äquivalenter Kurven, die von einem Element der Mannigfaltigkeit M ausgehen. Dazu betrachten wir die reelle Gerade R und wir definieren eine Abbildung von der Linie auf die Mannigfaltigkeit – wir sagen, dass ein Tangentenvektor eine Klasse von äquivalenten Kurven mit äquivalenter Beziehung ist, die tangential sind, weil im Allgemeinen viele Kurven von dem Punkt in der Mannigfaltigkeit ausgehen. Beachten Sie auch, dass die Kurve als die Karte selbst definiert ist und nicht als Wert (Bild), den sie auf der Mannigfaltigkeit annimmt – es ist der Prozess.
  2. Oder entweder als Ableitung, also als Abbildung von den Funktionen auf M auf die reellen Zahlen, mit den Eigenschaften
    u ( F + G ) = u F + u G , F , G ∈ F ( M ) ,
    u die Ableitung
    u ( R F ) = R u ( F ) , R ∈ R
    u ( F G ) = u ( F ) G + F u ( G )
    , erfüllt sie die Leibniz-Eigenschaft.

Schließlich definieren wir auch den Tangentenraum als die Menge aller Tangentenvektoren und es kann gezeigt werden, dass dies ein Vektorraum ist (die Summe zweier Tangentenvektoren an einem Punkt ergibt einen dritten an demselben Punkt). In der alternativen zweiten Perspektive kann der Ableitungsraum als Vektorraum definiert werden.

Jetzt kommt der wichtige Teil: Man kann sich eine Richtungsableitung von M als die übliche Ableitung der Funktion vorstellen, die die Kurve definiert, die den Tangentenvektor definiert. Also eine "Richtungsableitung".

u ( F ) := D F ( σ ( T ) D T | T = 0
und wo σ ist die Kurve mit der Menge [ σ ] aller Kurven, die von demselben Punkt ausgehen, ist per Definition der Tangentenvektor.

Man kann aber auch eine "partielle Ableitung" definieren, indem man an die Ableitungsdefinition und die Projektionskarten denkt ϕ μ der Karten, die die Mannigfaltigkeit aus Diagrammen definieren ( U , ϕ ) :

∂ ∂ X μ P F := ∂ ∂ ϕ μ F ⋅ ϕ − 1 | ϕ ( P ) .
Dies ist eine partielle Ableitung im üblichen Sinne, weil sie lokal auf den lokalen Repräsentanten definiert ist, also durch die Funktionen, die die kartierten Elemente von M mit den reellen Zahlen verbinden. Dies ist auch eine Art zu verstehen, dass die Definition einer Mannigfaltigkeit ihr lokal die euklidische, lineare Struktur verleiht – ein Satz, der häufig verwendet wird, um eine Mannigfaltigkeit zu konzeptualisieren.

Schließlich ist ein Vektorfeld als Zuordnung von Tangentenvektoren zu allen Punkten in M ​​definiert und trägt auch eine Vektorraumstruktur. Die Tatsache, dass gezeigt werden kann, dass der Raum aller Vektorfelder Vfld die Struktur einer Lie-Algebra hat, kann mit der Vorstellung in Verbindung gebracht werden, dass ein Vektorfeld als ein Generator infinitesimaler Transformationen auf der Mannigfaltigkeit, der unendlichen Dimension, gedacht werden kann Gruppe von Diffeomorphismen, aber hier gibt es viele mathematische Feinheiten, die für eine erste Lektüre irrelevant sind.

  • Ein schöner Einführungstext, aus dem ich das meiste oben gelesen habe, ist CJ Ishams Modern Differential Geometry for Physicists.
  • Eine weitere Referenz stammt von Bernard Schutz: Geometrical methods of differential physics
  • und Differential Manifolds and Theoretical Physics, von WDCurtis und FRMiller

Wir möchten sagen, dass ein (Einheits-)Tangentenvektor eine Richtung auf einer Mannigfaltigkeit ist. Aber wir können nur Richtungen definieren und unterscheiden, weil an verschiedenen Punkten auf der Mannigfaltigkeit etwas unterschiedlich sein muss, das heißt, wir haben eine nicht konstante „Test“-Funktion. Der Vektor ist also die Richtung, in der wir auf Mannigfaltigkeiten definierte Funktionen differenzieren. Daher die Notation der partiellen Ableitung.

Warum wird der Einheitsvektor als partielle Ableitung in GR dargestellt?
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