Ableitung eines metrischen Tensors

Ich möchte Ihnen eine Frage stellen - vielleicht einfach - aber mich stört.

Wir haben zwei Vektoren mit vier Positionen in krummlinigen Koordinaten, gegeben durch

$(1) \quad X^{\alpha}g_{\alpha \beta}X^{\beta} = \tau^2$

und die richtige Zeitableitung nehmen, die ich erwartet hatte

$(2) \quad 2\cdot U^{\alpha}g_{\alpha \beta}X^{\beta} = 2\tau$

Aber wenn wir es in partielle Ableitungen und Eigenzeitableitungen separater Vektoren zerlegen würden, wäre es:

$(3) \quad \frac{dX^{\alpha}}{d\tau}g_{\alpha \beta}X^{\beta} + X^{\alpha}g_{\alpha \beta}\frac{dX^{\beta}}{d\tau} + X^{\alpha}X^{\beta}\frac{dg_{\alpha \beta}}{d\tau} = 2\cdot U^{\alpha}g_{\alpha \beta}X^{\beta} +X^{\alpha}X^{\beta}\frac{dg_{\alpha \beta}}{d\tau} \neq 2\tau$

$(4) \quad U^{\gamma} \nabla_{\gamma} X^{\alpha}X^{\beta}g_{\alpha \beta}= U^{\gamma} g_{\gamma}\,^{ \alpha} X^{\beta}g_{\alpha \beta} + U^{\gamma} g_{\gamma}\,^{\beta} X^{\alpha}g_{\alpha \beta} + X^{\alpha}X^{\beta} U^{\gamma} \nabla_{\gamma} \, g_{\alpha \beta} = 2\cdot U^{\alpha}g_{\alpha \beta}X^{\beta} +X^{\alpha}X^{\beta}U^{\gamma} \,[??] \neq 2\tau$

Was mich stört ist folgendes:

A)$Eq (2) \neq Eq (3) \neq Eq (3)$

B) Wenn Gleichung (2) richtig ist, warum dann? Weil sich der metrische Tensor im Laufe der Zeit ändern kann, wie ich vermute.

C) Was es ist$[??]=\nabla_{\gamma} \, g_{\alpha \beta}$in Gl. (4)? - Soweit ich weiß, sollte der metrische Tensor unter einem kovarianten Viergradienten invariant sein, und daher habe ich keine Ahnung, was das Ergebnis einer solchen Ableitung ist.

Ich würde mich freuen, wenn Sie eine Weile Zeit finden, um zu antworten.

Ich nehme an, für Sie wird es eine Minute dauern, aber ich habe wirklich Zweifel an den obigen Formeln.