Was ist die physikalische Bedeutung der Levi-Civita-Verbindung?

Zwei Gründe, die mir wirklich einfallen.

Einer ist, dass es die Verbindung ist, die am wenigsten zusätzliche Daten benötigt. Es wird vollständig durch die Metrik bestimmt, sodass keine zusätzlichen geometrischen Daten benötigt werden, um es zu spezifizieren.

Dies bedeutet jedoch nicht, dass wir absolut keine zusätzlichen Verbindungen verwenden können, aber bedenken Sie, dass wir, da die Differenz zweier Verbindungen ein Tensorfeld ist, immer eine Verbindung als designierte Verbindung auswählen und jede andere Verbindung darstellen können, die möglicherweise benötigt wird als Tensorfelder. Warum also nicht die Verbindung als designierte Verbindung wählen, die die wenigsten unbekannten Variablen erfordert?

Zweitens , wenn wir die Riemannsche (na ja, Pseudo-Riemannsche, aber ich möchte den Unterschied jetzt ignorieren) Mannigfaltigkeit konstruieren, die die Raumzeit modelliert, wollen wir so nah wie möglich an der euklidischen Geometrie sein (na ja, Minkowski-Geometrie , eigentlich), aber immer noch Krümmung zulassen.

Wenn Sie nun einen Vektorraum nehmen (was bedeutet, dass es sich um einen "flachen Raum" handelt), lässt dieser natürlich die Differenzierung von Vektorfeldern zu, sodass darauf eine natürliche Verbindung besteht, die zufällig auch torsionsfrei ist. Legt man irgendein (algebraisches) Skalarprodukt auf den Vektorraum, den wir als metrischen Tensor auffassen können, so ist dieser natürliche Zusammenhang automatisch metrisch kompatibel mit ihm. Die natürliche Verbindung auf einem flachen, euklidischen Raum ist also auf natürliche Weise die Levi-Civita-Verbindung ihres inneren Produkts .

Wenn wir außerdem eine eingebettete Hyperfläche aufnehmen$n$-dimensionalen euklidischen Raum können wir durch den folgenden Algorithmus eine relativ natürliche (wenn auch immer noch gewählte) Verbindung auf der Hyperfläche erhalten:

1) Nimm ein Vektorfeld, das die Hyperfläche tangiert.

2) Erweitern Sie es willkürlich in die Nachbarschaft der Hyperfläche.

3) Differenzieren Sie diese Ausdehnung in Richtung eines Vektorfeldes, das die Hyperfläche vollständig tangiert (natürlich unter Verwendung der Verbindung zum Umgebungsraum).

4) Das resultierende Vektorfeld ist unabhängig von der Erweiterung, aber nicht tangential zur Hyperfläche, also subtrahieren Sie seinen normalen Teil, um ein Vektorfeld zu erhalten, das tatsächlich tangential zur Hyperfläche ist.

Der Differentialoperator, der diesen Algorithmus ausführt, ist eine natürlich induzierte Verbindung in der Hyperfläche. Es ist auch die Levi-Civita-Verbindung, die mit der induzierten Metrik auf der Hyperfläche verbunden ist.

Diese beiden Beispiele zeigen, dass die Levi-Civita-Verbindung natürlich in der euklidischen Geometrie vorkommt, einschließlich Hyperflächen euklidischer Räume. Wenn wir also die Raumzeit als etwas konstruieren wollen, das im Grunde wie der euklidische Raum ist, außer gekrümmt, gibt es nicht viel Grund, es zu versuchen fremdere Geometrien zu konstruieren als jene nicht-euklidischen Geometrien, die natürlicherweise als Untermannigfaltigkeiten euklidischer Räume erscheinen.

Bearbeiten : Aufbauend auf dem, was 0celo7 gesagt hat, wissen wir beispielsweise aus dem euklidischen Raum, dass die gerade Linie zwischen zwei Punkten diejenige mit extremer Länge ist.

In der Riemannschen Geometrie haben wir zwei unterschiedliche Konzepte der Geodäte. Eine, die die möglichst gerade Kurve ist (ihr Tangentenvektor ist parallel zu sich selbst), und eine andere, die die Kurve der extremalen Länge/Eigenzeit ist.

Das erste Konzept hängt von der Verbindung ab, das zweite von der Metrik. Diese beiden fallen zusammen, wenn die Levi-Civita-Verbindung hergestellt wird.

Und da im euklidischen Raum beides zusammenfällt, WOLLEN wir GR so konstruieren, dass diese beiden Konzepte auch dort zusammenfallen.

Edit2: Ich habe ein bisschen über dieses Zeug nachgedacht und möchte meinen zweiten Punkt ein wenig klarstellen.

Was wir hier haben, sind im Grunde zwei verschiedene, aber verwandte Konzepte. Parallelität und Metrik. Die Verbindung$\nabla$gibt uns Parallelität und die Metrik$g$gibt uns Metrik.

Es sollte nicht schwer sein, sich davon zu überzeugen, dass Parallelität nicht unmittelbar mit Metrik zusammenhängt. Nehmen wir zum Beispiel einen beliebigen Vektorraum$V$über einem beliebigen Feld$\mathbb{F}$. Wir sagen, dass zwei Vektoren,$x$Und$y$parallel sind, falls es eine solche gibt$\alpha\in\mathbb{F}$Skalar das$\alpha x=y$. Wir haben diesem Raum keine Norm oder kein inneres Produkt zugeordnet, daher können wir keine Winkel oder Entfernungen messen. Aber Parallelität macht Sinn. Aus diesem Grund lässt der betreffende Vektorraum die Differenzierung natürlich zu, wenn er auch eine gut erzogene Topologie hat, wird Parallelität zur Differenzierung benötigt, und ein Vektorraum hat sie natürlich.

Parallelität kann jedoch offensichtlich in Bezug auf Winkel erfasst werden. Wenn Sie also eine Metrik haben, die die Messung von Winkeln ermöglicht, haben Sie auch Parallelität. Die mathematische Aussage dafür ist genau die Existenz der Levi-Civita-Verbindung – eine Verbindung, die vollständig durch die Metrik bestimmt wird.

Natürlich können Sie mathematisch gesprochen den Begriff der Parallelität vom Begriff der Metrik trennen, indem Sie eine völlig willkürliche Verbindung einführen, aber dies führt zu völlig fremden Geometrien, die überhaupt nicht mit dem übereinstimmen, was wir in der realen Welt um uns herum sehen.

Wir sehen vielleicht auch nicht sofort die Nichteuklidizität, aber nur weil wir gekrümmte Geometrien zulassen, bedeutet das nicht, dass wir jede andere zuvor etablierte geometrische Eigenschaft der Raumzeit (nämlich, dass Parallelität durch Metrik bestimmt wird) wegwerfen sollten, weil wir eine Modifikation vorgenommen haben .

Ich denke, es hilft, alte Bücher zur Differentialgeometrie wie Kreyszig zu studieren, um die Entwicklung von Levi-Civita im Gegensatz zum modernen Formalismus zu sehen, da Sie explizit zeigen, dass sich einfache Ableitungen von Tensoren nicht als Tensoren transformieren, weshalb Sie die kovariante Ableitung benötigen . Das ist ein wesentlicher Teil der Definition der kovarianten Ableitung (Verbindung). Ich mag die Formel des Mathematikers nicht, die jetzt populär wird. Es bietet Abkürzungen, aber ich denke, sie verschleiern die Motivation und den Zweck der Geometrie.

Aber um Ihre Frage zu beantworten, braucht man die entscheidende Tatsache, dass innere Produkte von Vektoren erhalten bleiben sollten, wenn Sie sie durch den Raum transportieren, dh die Ableitung des inneren Produkts verschwindet. Infinitesimal ist der metrische Tensor das innere Produkt von Vektoren, die den Raum definieren, in dem Sie arbeiten, also möchten Sie natürlich, dass die kovariante Ableitung des metrischen Tensors verschwindet. Das definiert die Eigenschaft des parallelen Transports. Diese Eigenschaft verschafft Ihnen dann die Levi-Civita-Verbindung. Die physikalische Bedeutung der Levi-Civita-Verbindung besteht im Wesentlichen darin, dass sie die Möglichkeit bietet, Tensoren gemäß der natürlichen Geometrie des gekrümmten Raums zu unterscheiden, die durch parallelen Transport definiert ist. Diese Umstände sind äquivalent zu Ihren Geodäten, aber das Verschwinden der Metrik durch die kovariante Ableitung ist die lokale Version,

Eine Verbindung auf einem Verteiler wird verwendet, um Frames zu verbreiten; Genauer gesagt können wir einen Rahmen parallel entlang eines Pfades transportieren , der beispielsweise zwei Punkte verbindet$p,q$.

Dies ergibt eine Karte zwischen allen Frames bei p zu all denen bei q ; und es stellt sich heraus, dass diese Karte linear ist.

Aber reicht Linearität aus?

Erinnern Sie sich hier an das erste Newtonsche Gesetz - ein Körper bewegt sich gleichmäßig in einer geraden Linie, wenn er keinen Kräften ausgesetzt ist; in GR verallgemeinern wir gerade (im euklidischen oder flachen Raum) auf geodätisch in (gekrümmter Raum).

Das erste Gesetz verallgemeinert sich also in GR zu: Paralleltransport entlang einer Geodäte sollte bedeuten, dass sich physikalisch nichts ändert - dies verallgemeinert die Trägheitsbewegung - und so ist das Äquivalenzprinzip.

Aber eigentlich ist es kein „gekrümmter Raum“, sondern eine gekrümmte Raumzeit.

Physikalisch bedeutet dies, dass es keine lokalen Längen- oder Zeitverzerrungen gibt; daher benötigen wir die Metrik$g$soll erhalten bleiben - dh wir benötigen eine Isometrie; und es stellt sich heraus, dass die obige Karte eine Isometrie ist, wenn die Verbindung eine Levi-Cevita-Verbindung ist.