Was bedeutet die metrische Bedingung ∇ρgμν=0∇ρgμν=0\nabla_\rho g_{\mu\nu}=0 in der Allgemeinen Relativitätstheorie intuitiv für einen Beobachter, der Entfernungen misst?

Die Bedingung$\nabla_{a}g_{bc} = 0$ist nur reine Mathematik. Jede Metrik lässt eine Torsionsfreiheit zu (für eine Definition eine, die erfüllt$\nabla_{[a}\nabla_{b]}f = 0$für jede Funktion am Verteiler) Verbindung, die diese Bedingung erfüllt.

Dass die Allgemeine Relativitätstheorie mit dieser Verbindung formuliert wird, ist eine Aussage, dass die Gravitation dem Äquivalenzprinzip gehorcht – ein frei fallender Beobachter wird entlang der Geodäten parallel verschoben$\nabla$relativ zu$g$. Und die Tatsache, dass es sich um eine parallele Übersetzung handelt, ist in dieser Bedingung in der Metrik codiert.

Es besagt, dass sich die Metrik in Bezug auf die kovariante Differenzierung als Konstante verhält, was bedeutet, dass Vektoren bei paralleler Verschiebung eine konstante Größe haben. Mit anderen Worten, wenn Sie einen Meterstab verschieben, ist es immer noch ein Meterstab, und wenn Sie eine Uhr verschieben, die eine Sekunde pro Sekunde misst (ohne den Mechanismus zu stören), misst sie immer noch eine Sekunde pro Sekunde.

Beachten Sie zunächst, dass die kovariante Ableitung eines Vektors ein Tensor ist. Das heißt, wenn wir zwei Vektoren haben$A_\mu$Und$A^\nu$, dann ihre kovarianten Ableitungen$\nabla_\rho A_\mu$Und$\nabla_\rho A^\nu$sind Tensoren. Diese beiden Tensoren erfüllen das Transformationsgesetz:

Intuitive Bedeutung:

Der metrische Tensor bleibt also während der kovarianten Differentiation erhalten. Dies bedeutet jedoch nicht, dass die partiellen Ableitungen alle Null sind. Man kann die partiellen Ableitungen von ausdrücken$g_{\mu\nu}$in Bezug auf die Christoffel-Verbindungen und kann es nur an einem lokalen Punkt in der Raumzeit zu Null machen. Mit diesem Verfahren kann man zeigen, dass die Christoffel-Verbindungen Funktionen der ersten Ableitungen des metrischen Tensors sind.

Man kann den Ausdruck für den Riemann-Krümmungstensor erhalten, der eine Funktion der ersten Ableitungen der Christoffel-Verbindungen ist (dh eine Funktion der zweiten Ableitungen des metrischen Tensors), um festzustellen, dass der Riemann-Tensor an einem lokalen Punkt nicht auf Null reduziert werden kann . Das bedeutet, dass alle zweiten Ableitungen des metrischen Tensors an keinem lokalen Punkt der Raumzeit auf Null reduziert werden können. Die Anzahl der überlebenden zweiten Ableitungen ist$\frac{1}{12}D^2(D^2-1)$, was für$D=4$Dimensionen ist 20. Dies ist die Anzahl der unabhängigen Komponenten des Riemann-Tensors.

Die Bedingung$\nabla_\rho g_{\mu\nu}=0$intuitiv bedeutet, dass alle ersten Ableitungen des metrischen Tensors an einem lokalen Punkt in der Raumzeit Null sein können, aber nicht alle zweiten Ableitungen an einem solchen Punkt identisch Null sein können. Und die Anzahl der überlebenden zweiten Ableitungen des metrischen Tensors bestimmt die Krümmung der Raumzeit. Dies definiert auch den eigentlichen Begriff von lokal inertialen Rahmen.

Ich glaube, der beste Weg, dies zu verstehen, ist das Äquivalenzprinzip mit einem Lineal und einer Uhr. Das Äquivalenzprinzip besagt, dass es innerhalb bestimmter Entfernungs- und Zeitgrenzen keine Möglichkeit gibt, festzustellen, ob Sie frei auf einen massiven Körper fallen oder im Weltraum weit entfernt von allen massiven Himmelskörpern schweben.

Wenn die Metrik keine kovariante Konstante wäre, würden Ihr Lineal und/oder Ihre Uhr ihre Messungen ändern. So könnten Sie beispielsweise an einem quer zur Fahrtrichtung liegenden baugleichen Lineal vorbeifahren und Ihr Lineal hätte eine andere Länge, wenn Sie es im Vorbeigehen parallel zum anderen legen.

Wenn Sie auf einem geschlossenen Pfad gereist sind, messen Ihre Uhr und Ihr Lineal möglicherweise nicht dasselbe wie zu dem Zeitpunkt, als Sie ihn verlassen haben.

Eines der Argumente, auf die ich gestoßen bin, war, dass das Skalarprodukt unveränderlich sein sollte. Aber das wirft nur die Frage auf, warum?

Ich glaube, ich habe eine ziemlich intuitive Antwort, die auf Geometrie und Physik basiert.

Wenn die auf den metrischen Tensor wirkende kovariante Ableitung verschwindet, bedeutet dies, dass während des parallelen Transports zweier beliebiger Vektoren$u$,$v$(dh Vektoren, die auf dem Tangentialraum an einem Punkt der Mannigfaltigkeit leben) entlang einer beliebigen Kurve ist das innere Produkt zwischen ihnen kovariant konstant (was im Allgemeinen nicht numerisch konstant bedeutet), dh

Da nun die Verallgemeinerung von Geraden geodätische Kurven sind (die für einen reisenden Beobachter lokal als Gerade wahrgenommen werden), bedeutet diese Bedingung, dass der Tangentenvektor parallel zu einer Kurve transportiert wird$\gamma$bedeutet, dass seine Länge erhalten bleibt. Nun bedeutet ein Tangentenvektor an eine Kurve im Realraum, dass der Vektor der Geschwindigkeitsvektor ist. Das Obige ist also die "gekrümmte Verallgemeinerung" der Aussage, dass, wenn die Summe der äußeren Kräfte, die auf einen Körper einwirken, Null ist, seine Geschwindigkeit konstant ist (lokal ist sie tatsächlich konstant - nicht nur in der Länge -, wenn sie von einem lokalen Beobachter betrachtet wird seitdem er/sie sieht seinen Weg entlang einer Geodäte als einer geraden Linie folgend (obwohl er/sie wiederum nicht numerisch konstant ist).

Hinweis: Die Geschichte hat noch etwas mehr zu bieten, da die Allgemeine Relativitätstheorie eine kovariant konstante Metrik und eine torsionsfreie Verbindung benötigt. Torsion neigt dazu, Vektoren zu "verdrehen", aber die Hauptidee in meiner Antwort ist meiner Meinung nach richtig.