Differenzierung eines Vektors in Bezug auf einen Vektor

Nun, ein gutes Beispiel ist das Denken in Komponenten. In einigen Bereichen der Physik wird die Mathematik intuitiver, wenn Sie in Bezug auf die Komponenten der Vektoren denken. Also, anstatt den Vektor zu schreiben$\mathbf r$für die Position eines Teilchens schreibst du$x^i$als die$i$-te Komponente eines Vektors. Der$i$in der Spitze soll einen kontravarianten Vektor angeben, anstelle von$i$-te Komponente eines kovarianten Vektors:$x_i$. In der euklidischen Geometrie sind diese Unterschiede irrelevant, also vergessen wir sie. Daher werde ich immer niedrigere Indizes verwenden.

Angenommen, Sie haben eine Skalarfunktion$\phi$, abhängig von der Position:$\phi(\mathbf r(t))$. In Komponentenschreibweise:$\phi(x_i(t))$. Seine zeitliche Ableitung:

$$\frac{d\phi}{dt} = \sum_i \frac{\partial\phi}{\partial x_i} \frac{d x_i}{dt}.$$

Wenn man es also in Vektornotation umwandelt, wie würde man das schreiben? Ja .. Verwenden der Vektordivision .. seit$x_i$repräsentiert die Komponente eines Vektors:

$$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d \phi}{d \mathbf r} \frac{d\mathbf r}{dt}.$$

Nun gilt eine einfache Kettenregel. In diesem kleinen Beispiel wäre die Ableitung der Skalarfunktion in Bezug auf einen Vektor das, was Sie Gradient nennen:

$$\frac{d \phi}{d \mathbf r} = \nabla\phi \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\phi}{dt} = \nabla\phi\cdot\frac{d\mathbf r}{dt}.$$

In ähnlicher Weise war if anstelle eines Skalarfelds ein Vektorfeld$\mathbf E = \mathbf E(\mathbf r(t))$, sagen wir, ein elektrisches Feld. Wir können die Komponentennotation verwenden:$E_i = E_i(x_k(t))$. Also die zeitliche Ableitung:

$$\frac{dE_i}{dt} = \sum_k \frac{\partial E_i}{\partial x_k} \frac{d x_k}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\mathbf E}{dt} = \frac{d\mathbf E}{d\mathbf r} \frac{d\mathbf r}{dt}$$

Das ist etwas kniffliger, aber die Komponenten-Notation macht es deutlich: Es hat zwei Reihen statt einer. Ja, eine Matrix! Nennen wir es Matrix$J$, und schreiben Sie es in Komponentennotation$J_{ik}$:

$$J_{ik} = \frac{\partial E_i}{\partial x_k} = \left(\frac{d\mathbf E}{d\mathbf r}\right)_{ik}$$

Diese Matrix wird die Jacobi-Matrix genannt. Es macht also Sinn, nach Vektoren zu "differenzieren", wenn man sich die Komponentennotation ansieht.

Aus Neugier: Die Ableitung zweiter Ordnung des Skalarfelds würde ein Objekt zweiter Ordnung oder eine Matrix namens Hesse-Matrix ergeben. Die Ableitung zweiter Ordnung des Vektorfeldes würde zu Objekten dritten Ranges führen. Der$n$-Rang-Verallgemeinerung wird als Tensor bezeichnet . Und wenn der Raum nicht euklidisch ist, kann man einen bauen$r$-Rang kontravariante und$s$-Rang-kovarianter Tensor oder a$(r,s)$-Rang Tensor.