Verwechslung mit partiellen Ableitungen als Basisvektoren

Ich denke, der Physikseiten-Autor ist nur verwirrt.$df/d\lambda$ist ein Skalar, kein Vektor. Es ist das Skalarprodukt des Covektors$\nabla f$mit dem Vektor$d\mathbf{x}/d\lambda$. Sie sagen: "Betrachtet man die partiellen Ableitungen als Basisvektoren, ..." und fahren fort, als ob$\partial f/\partial x$Und$\partial f/\partial y$waren die Basisvektoren. Das ist falsch. In der Notationskonvention, an die sie denken, sind es die Operatoren $\partial/\partial x$Und$\partial/\partial y$die als Basisvektoren verwendet werden.

In dieser Notationskonvention werden die partiellen Ableitungsoperatoren niemals tatsächlich auf irgendetwas angewendet. Sie haben nie etwas rechts von ihnen geschrieben. Die Konvention ist ein Notationstrick, der einen Isomorphismus zwischen Vektoren und Ableitungsoperatoren ausnutzt, aber es geht nicht darum, tatsächlich die Ableitung von irgendetwas zu nehmen.

Der Gedanke, den sie wahrscheinlich auszudrücken versuchen, ist, dass ihr Paraboloid in ihrem Beispiel in einen höherdimensionalen Raum eingebettet ist (was normalerweise in der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht der Fall wäre). Sie sind schlampig / verwirrt mit ihrer Notation, weil sie das Symbol verwenden$f$um ein skalares Feld zu bedeuten, das auf definiert ist$(x,y)$Flugzeug, aber sie behandeln auch$f$als wäre es ein Positionsvektor in$(x,y,z)$Raum.

Die Richtungsableitung$\frac{df}{d\lambda}$ist nicht wirklich ein Vektor in dem Raum, der von der aufgespannt wird$x^i$. Was die Quelle zu sagen versuchte, war, dass in dem abstrakten Vektorraum, der von den partiellen Ableitungsoperatoren aufgespannt wird ,$\frac{d}{d\lambda}$kann man sich als Vektor vorstellen.

* http://www.physicspages.com/2013/02/10/tangent-space-partial-derivatives-as-basis-vectors/