Lie-Derivat vs. kovariantes Derivat im Zusammenhang mit Killing-Vektoren

Gute Frage. Eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, ist die gegebene Metrik$g$, die Aussage$\mathcal L_Xg = 0$sagt etwas über die Metrik aus, wohingegen$\nabla_Xg = 0$sagt etwas über die Verbindung aus . Was jetzt$\mathcal L_Xg = 0$sagt, ist das der Fluss von$X$, wo definiert, ist eine Isometrie für die Metrik, während$\nabla_Xg = 0$sagt, dass$\nabla$transportiert ein Paar Tangentenvektoren entlang der Integralkurven von$X$so, dass ihr inneres Produkt gleich bleibt.

Betrachten Sie als Beispiel das Modell der oberen Halbebene der hyperbolischen Ebene. Seine Metrik ist$y^{-2}(dx^2 + dy^2)$, so klar$\partial_x$ist ein Killing-Vektorfeld; sein Fluss, horizontale Translation, ist eine Isometrie. Die Tatsache, dass$\nabla_{\partial_x}g = 0$sagt nichts darüber aus$g$, aber es besagt, dass der euklidische Paralleltransport mit dieser Richtungsableitung der Verbindung kompatibel ist.

Jetzt bedenke$\partial_y$. Dies ist natürlich kein Killing-Vektorfeld, da die vertikale Translation keine Isometrie ist. Die Verbindung kann jedoch (nach dem Satz von Levi-Civita) so hergestellt werden, dass ein Paar von Tangentenvektoren so parallel transportiert werden kann, dass das Skalarprodukt erhalten bleibt.

BEARBEITEN

Ich glaube, ich habe ein anschaulicheres Beispiel: Betrachten Sie die eingebettete Kugel$\Bbb R^3$. Wählen Sie eine Achse und nehmen Sie das Geschwindigkeitsvektorfeld$\xi$verbunden mit einer Rotation um die Achse mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit. Betrachten Sie auch ein zweites Vektorfeld$\zeta$das ist überall (in der Nähe des Äquators, sich in beliebiger Weise in Richtung der Pole erstrecken) proportional zu$\xi$, aber das hat überall konstante Geschwindigkeit, etwa so wie in diesem Bild

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Offensichtlich$\xi$ist ein Killing Field, da es sich in eine Isometrie integriert. Eine unmittelbare Möglichkeit, das zu sehen$\zeta$nicht ist, ist zu beachten, dass Kurven parallel zum Äquator unter dem Fluss von parallel zum Äquator bleiben$\zeta$, also auch ihre Tangentenvektoren. Was mit einer Kurve passiert, deren Tangentenvektor am Äquator auf einen Pol zeigt, ist, dass der Fluss von$\zeta$verschiebt den Punkt am Äquator um einen kleineren Winkel als einen Punkt über dem Äquator, sodass diese beiden Vektoren nicht senkrecht bleiben. Beim parallelen Transport hingegen bleiben zwei senkrechte Tangentenvektoren zu einem Punkt am Äquator senkrecht zueinander$\xi$und in$\zeta$, da sie nur von der Beschränkung auf die Vektorfelder zum Äquator abhängen, wo sie gleich sind. Das sagt nichts darüber aus, dass das Vektorfeld eine Isometrie erzeugt, also ein Killing-Vektorfeld ist.

Als Ableitungen beinhalten die Lie- und kovarianten Ableitungen den Vergleich von Tensoren an verschiedenen Punkten auf der Mannigfaltigkeit. Sie unterscheiden sich in der Vorschrift für den Vergleich der Tensoren an zwei verschiedenen Punkten.

Das Schlüsselkonzept mit einer kovarianten Ableitung$\nabla_\xi = \xi^a\nabla_a$Parallelverkehr ist. Es ist so definiert, dass Sie sich entlang einer Geodäte in Richtung bewegen$\xi^a$, bleiben die inneren Produkte zwischen parallel transportierten Vektoren erhalten. Dieses innere Produkt beinhaltet notwendigerweise die Metrik (es ist im Grunde das, wofür die Metrik da ist), also ist die kovariante Ableitung auch notwendigerweise metrisch abhängig. Damit diese Definition sinnvoll ist, ist es auch wichtig, dass die Metrik in alle Richtungen parallel transportiert wird, was zu der Ihnen wahrscheinlich bekannten definierenden Bedingung führt,$\nabla_a g_{bc}=0$.

Im Gegensatz dazu die Lie-Ableitung$£_\xi$gibt die Änderung eines Tensors aufgrund eines Diffeomorphismus an. Es sagt Ihnen, wie sich ein Tensor aufgrund einer Ein-Parameter-Familie von Diffeomorphismen ändert, die den Flüssen des Vektors folgen$\xi^a$. Da sich Diffeomorphismen nicht auf eine Metrik beziehen, ist eine der Schlüsseleigenschaften von Lie-Ableitungen, dass sie überhaupt nicht davon abhängen, was die Metrik ist!

Eine andere sehr schöne Art, sich Lie-Ableitungen vorzustellen, besteht darin, ein an den Vektor angepasstes Koordinatensystem zu verwenden$\xi^a$, so dass es Komponenten hat$\xi^\alpha = \delta^\alpha_0$. Dann ist in diesem Koordinatensystem die Lie-Ableitung einfach die partielle Ableitung$\partial/\partial x^0$. Killings Gleichung in diesem Koordinatensystem ist$£_\xi g_{\alpha\beta} = \frac{\partial}{\partial x^0}g_{\alpha\beta} = 0$, dh die Metrik hängt nicht von der Koordinate ab$x^0$. Dies sollte jetzt sehr intuitiv Sinn machen: Die Metrik ist die gleiche, auch wenn Sie zu unterschiedlichen Werten fließen$x^0$.

Hoffentlich verdeutlicht dies die großen Unterschiede zwischen den beiden Ableitungen: Die kovariante Ableitung sollte verwendet werden, um zu messen, ob ein Tensor parallel transportiert wird, während die Lie-Ableitung misst, ob ein Tensor unter Diffeomorphismen in Richtung des Vektors invariant ist$\xi^a$.

Lassen$T$ein Tensorfeld sein,$V$ein Vektorfeld, intuitiv:

• Kovariante Ableitung$\triangledown_V T$misst, wie weit ein Tensor davon entfernt ist, parallel entlang eines Vektorfeldes transportiert zu werden$V$.

• Ableitung lügen$\mathcal L _V T$misst, wie stark sich ein Tensor unter der Ein-Parameter-Gruppe von Transformationen ändert, die durch das Vektorfeld erzeugt werden$V$.

Paralleler Transport ist ein sehr spezifischer Begriff , der von der gewählten Verbindung abhängt. Tatsächlich ist es denkbar, eine Verbindung zu wählen, bei der der parallele Transport nicht die geometrische Interpretation als "auf einer Kurve transportierte Geometrie" hat. In diesem Fall ist alles, was die kovariante Ableitung misst, „wie unterschiedlich“.$T$ist von einem anderen beliebigen Tensor$S$, wo$S$ist ein Tensor, der parallel transportiert wird.

Andererseits ist das Lie-Derivat, wie Sie wissen, nicht so dumm von Ihrer Verbindung abhängig. Per Definition misst es die Änderung des Tensors entlang einer Integralkurve von$V$, stets.

Der Begriff der Ableitung erfordert einen Begriff des Vergleichs. In einer allgemeinen Mannigfaltigkeit gehören Tangentenvektoren an verschiedenen Punkten zu völlig unterschiedlichen Vektorräumen (siehe Fußnote 1), also müssen wir einen Weg definieren , einen Tangentenvektor auf einen anderen Tangentenraum abzubilden, den wir per Definition als die "Invariante" bezeichnen werden image" des Vektors im neuen Tangentenraum, damit wir vergleichen könnensein Bild unter anderen Transformationen mit diesem invarianten Bild zum Zwecke der Berechnung einer "Ableitung" durch den geeigneten Begrenzungsprozess (siehe Fußnote 2). Dies ist nicht genau wie der elementare – und koordinatenabhängige – Begriff einer Ableitung, also treffen wir unsere Definition so, dass unsere Ableitung der elementaren in ihren algebraischen Eigenschaften genauso ähnlich ist. Die Liebnitz-Produktregel steht an erster Stelle, und sowohl die Lie- als auch die kovariante Ableitung sind Ableitungen der Algebra glatter Vektorfelder auf einer Mannigfaltigkeit: Beide erfüllen die Leibnitz-Regel (siehe Fußnote 3) und beide sind koordinatenfreie Definitionen.

Ich denke, ich würde eine Antwort an Sie so zusammenfassen: In dem Sinne, dass es mehr als eine Möglichkeit gibt, das "invariante Bild" eines Tangentenvektors zum Berechnen einer "Ableitung" zu definieren, gibt es keinen Begriff von " Richtungsableitung". Sie sind beide gerichtete Ableitungen.

Eine Lie-Ableitung ist die Ableitung eines Vektorfelds entlang des Flusses eines "Benchmark" -Felds.$\xi$in deiner Notation. Es ist, als hätte ein bahnbrechender Landvermesser die Mannigfaltigkeit im Voraus für Sie kartiert, indem er ein Feld festgelegt hat, mit dem wir alle anderen Felder vergleichen. Alles wird an seiner Beziehung gemessen$\xi$.

Ich sage ein bisschen mehr über Lie-Derivate auf meiner Website: Die Diskussion ist ungefähr ein Viertel dieser Seite, ungefähr Abbildung 11.1:

"Lügengruppen als Mannigfaltigkeiten: Die herkömmliche Lügengruppendefinition 2"

Im Gegensatz dazu benötigt die kovariante Ableitung kein "Benchmark"-Feld. Alles wird in Bezug auf die Metrik definiert , die in der Physik das "Physikalische" ist - sie definiert, welche Längenmessungen wir als kleine Lebewesen in der Mannigfaltigkeit vornehmen werden. Es kann folgendermaßen visualisiert werden: Betten Sie die Mannigfaltigkeit in einen höherdimensionalen euklidischen (oder Minkowskischen) Raum durch eine isometrische Einbettung ein (nach dem Satz von Nash ist dies immer möglich). Berechnen Sie dann die Tangentenvektoren in der höheren üblichen Ableitung. Die kovariante Levi-Civita-Ableitung (andere sind möglich) eines Vektors entlang der Richtung eines Tangentenvektors ist die Komponente der "elementaren" Richtungsableitung (im höherdimensionalen Einbettungsraum) des Vektors, der tangential istzum Verteiler. Wir verwerfen die normale Komponente als Folge der Biegung der Mannigfaltigkeit selbst und nicht als Folge der "intrinsischen" Variation des geometrischen Objekts, das wir zu messen versuchen.

Wir können die kovariante Ableitung auch ohne den höherdimensionalen Raum abstrakt als Zusammenhang ohne die Metrik definieren. Es gibt dann zwei Tensoren, die man abstrakt definiert, um die Abweichung einer Mannigfaltigkeit von ihrer Erfüllung des euklidischen Parallelpostulats zu messen, die Krümmung und die Torsion. Diese beiden sind in einer Nachbarschaft genau dann null, wenn Euklids paralleles Postulat in der gesamten Nachbarschaft gilt. An einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, wo man eine Metrik definieren kann, kann gezeigt werden, dass es eine so definierte eindeutige Verbindung gibt, die eine verschwindende Torsion hat, und das gesamte nichteuklidische Verhalten ist somit in der Krümmung kodiert.

Fußnoten:

1. Denken Sie an Tangentialebenen an die 2-Sphäre, eingebettet in den dreidimensionalen euklidischen Raum: Zwei Tangentialebenen sind im Allgemeinen völlig unterschiedliche Vektorräume.

2. Historisch gesehen dachten Élie Cartan und die Geometer des späten 19. und frühen 20. Jahrhunderts zunächst an tangentiale Ebenen , die über eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit rollen, ohne zu rutschen , um diese Kartierung durchzuführen.

3. Wenn Sie sich noch nie mit dem Begriff der Ableitung befasst haben, tun Sie dies. Es ist erstaunlich, wie viel elementare Differentialrechnung man allein aus der Leibnitz-Produktregel ableiten kann.