Verlaufsform [duplizieren]

Ich denke, Ihr letzter Satz zeigt, dass Sie auf dem richtigen Weg sind. Eine Einsform ist eine lineare Funktion , die Vektoren auf reelle Zahlen abbildet. Sie geben ihm einen Vektor als Eingabe, und wie Sie sagen, gibt er die Änderungsrate in der implizierten Richtung zurück.

Nehmen wir an, wir haben einen Pfad, dessen Tangente an einem Punkt durch den Vektor definiert ist$v^j\,\partial_j$- der Differentialoperator, der auf einem glatten Skalarfeld arbeitet$\psi$und gibt die Gesamtableitung zurück$\mathrm{D}_v\psi = v^j\,\partial_j\,\psi$. Eine Eins-Form$\mathrm{d}u$, das ein lineares, homogenes Funktional von Vektoren ist, ist vollständig durch seine Werte an den Basisvektoren - dh durch seine Werte - definiert$u_1,\,u_2,\,\cdots$an den Basistangentenvektoren$\partial_1,\,\partial_2,\,\cdots$(in Komponenten sind letztere$(1,0,0,\cdots),\, (0,1,0,\cdots),\,\cdots$)

Nun, die Steigung$\nabla\phi$ist einfach so ein Biest. Sein Wert, wenn wir den Tangentenvektor eingeben$\partial_j$mit Komponenten$(0,0,,\cdots,1,\,\cdots)$(mit einer "1" in der$j^{th}$Position), ist der Wert des Funktionals$\partial\phi/\partial x^j$.

Wir summieren diese Basiswerte einfach durch Superposition: Nehmen Sie das Skalarprodukt mit dem Vektor$(v^1,\,v^2,\,\cdots)$um den Wert der Funktion und Ihren Wert zu finden$v^j\,\partial\phi/\partial x^j$- die Gesamtänderungsrate von$\phi$in der angegebenen Richtung$\vec{v}$.

Ich mag auch Schutzs Visualisierung einer Ein-Form als System von Hyperebenen: Der Wert ist die Rate, mit der ein Vektor die Hyperebenen durchdringt. Die klassische, prototypische Form ist die Wellenzahl, bei der man sich Phasenfronten vorstellt. Die Rate, mit der ein Vektor$\vec{r}$durchbohrt die Phasenfronten ist$k(\vec{r})$; in der optik verlieren wir das oft aus den augen und behandeln$k(\cdot)$als Vektor. Wenn wir das mit dem Obigen in Einklang bringen wollen, verstehen wir, dass die Wellenzahl als inneres Produkt Bedeutung hat , also ist der Wellenvektor in der Optik, wenn wir im gekrümmten Raum rechnen würden, die Wellenzahl-Einsform, die durch Erhöhen ihres Index in einen Vektor umgewandelt wird mit der Metrik: die$\vec{k}$wir kennen und lieben in der optik ist nämlich das "geschärfte"$\vec{k} = k()^\sharp$(eine Abkürzung für das Erhöhen eines Index), so dass$\vec{k}^\mu = g^{\mu\,\nu}\,k(\cdot)_\nu$. Ich denke, es wäre aufschlussreich für Sie, die Wellenzahl in der Minkowski-Raumzeit zu lesen und darüber nachzudenken .