Gibt es für eine kompakte 2D-Mannigfaltigkeit eine spurlose Symmetrie σab:∇[aσb]c=0?σab:∇[aσb]c=0?\sigma_{ab}:\nabla_{[a}\sigma_{b]c } = 0?

Lassen S sei eine glatte, kompakte, zweidimensionale Mannigfaltigkeit mit einer positiv-definiten Riemannschen Metrik G A B mit einem kompatiblen kovarianten Derivat ∇ A .

Ich möchte zeigen, dass es einen eindeutigen spurlosen, symmetrischen Tensor gibt σ A B befriedigend

∇ [ A σ B ] C = 0.

Diese Frage ist tatsächlich mit Theorem 5 in Gerochs Arbeit Asymptotic Structure of Space-Time verwandt . Leider finde ich keine kostenlose Version davon. Aber ich habe den wesentlichen Teil von Theorem 5 bereits übersetzt. In Gerochs Beweis hat er das behauptet σ A B = 0 , also ist die Eindeutigkeit bewiesen. Sein Argument kann im Folgenden wiedergegeben werden:

Lassen ξ A sei irgendein konformes Killing-Vektorfeld an S so dass

∇ ( A ξ B ) = k G A B

für irgendeine Funktion k An S . Bilden Sie einen neuen Tensor σ A B ξ C durch Tensorprodukt, und bewerten,

∇ [ A ( σ B ] C ξ D ) = σ C [ B ∇ A ] ξ D .

Vertragen Sie beide Seiten mit G C D erhalten,

∇ [ A ( σ B ] C ξ C ) = σ C [ B ( ∇ A ] ξ D ) G C D .

Hier schlug er vor, dass man schreibt ∇ A ξ D als Summe seiner symmetrischen und antisymmetrischen Teile. Unter Verwendung der Eigenschaft, ein konformer Killing-Vektor zu sein, kann man zeigen, dass der symmetrische Teil nachgibt σ C [ B k G A ] D G C D = k σ [ A B ] = 0 , als σ ist symmetrisch. Für den antisymmetrischen Teil sagte er, dass Sie ein Vielfaches von erhalten würden G C D σ C D , was ebenfalls null ist.

Aber ich stoße auf ein Problem mit dem antisymmetrischen Teil. Der antisymmetrische Teil besitzt keine besondere Eigenschaft, daher kann ich sein Ergebnis nicht wirklich erhalten.

Es kann nützlich sein, in zu wissen D = 2 , dein k = ∇ A ξ A , dh die konforme Killing-Gleichung lautet ∇ ( A ξ B ) = G A B ∇ C ξ C .
@JamalS Danke für die Erinnerung an die Dimensionalität! Ich weiß tatsächlich, wie man es beweist! Ich schreibe die Lösung auf.

Antworten (1)

Der Beweis für Gerochs Behauptung nutzt die Tatsache, dass die Mannigfaltigkeit zweidimensional ist. Danke an @JamalS. In diesem Fall ist jeder antisymmetrische Tensor, wie z ∇ [ A ξ B ] , ist proportional zum Volumenelement ϵ A B . Lassen ∇ [ A ξ B ] = a ϵ A B für irgendeine Funktion a An S .

Betrachten wir den Beitrag von ∇ [ A ξ B ] Zu ∇ [ A ( σ B ] C ξ C ) :

σ C [ B ( ∇ [ A ] ξ D ] ) G C D = a σ C [ B ϵ A ] C .

Wählen Sie nun eine orthonormale Basis { ( e 1 ) A , ( e 2 ) A } so dass ϵ 12 = 1 , Und σ 11 + σ 22 = 0 , als σ A B ist spurlos. Also bedenke

σ C [ 1 ϵ 2 ] C = 1 2 ( σ 11 ϵ 2 1 + σ 21 ϵ 2 2 − σ 12 ϵ 1 1 − σ 22 ϵ 1 2 ) = 1 2 ( σ 11 ϵ 2 1 − σ 22 ϵ 1 2 ) = 1 2 ( σ 11 + σ 22 ) ϵ 2 1 = 0 .

Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Eine andere Methode ist das Setzen σ C [ B ϵ A ] C = β ϵ A B . Vertrag beidseitig mit ϵ A B erhalten β = a σ C B G B C / 2 = 0 . Danke @Valter Moretti!

Es stellt sich heraus, dass die Dimensionalität eine wichtige Rolle beim Beweis von Gerochs Behauptung spielt, die ich zuvor völlig ignoriert habe.

Ich wollte antworten!!! Der Punkt ist, dass dim M = 2 ist
@ValterMoretti Haha, ich habe deinen Donner genommen! Aber danke, dass du versucht hast, meine Frage und deinen Kommentar zu beantworten! Dimensionalität spielt manchmal eine wichtige Rolle, die ich immer übersehen habe. Ich brauche also Gerochs Vorschlag zum Beitrag des antisymmetrischen Teils nicht. Aber trotzdem könnte sein Vorschlag falsch sein. Rechts?
Gerochs Vorschlag ist richtig. Wenn Sie sich mit einer generischen Basis befassen und die Tatsache verwenden, dass die Komponenten nur zwei sind, finden Sie tatsächlich, dass der antisymmetrische Teil proportional zu ist σ A B G A B ...
@ValterMoretti Yap! Habe es gerade! Vielen Dank!
Das nicht triviale Problem ist, warum es einen bestätigenden Tötungsvektor in der Nachbarschaft jedes Punktes gibt ...
@ValterMoretti Ich denke, die Existenz eines konformen Tötungsvektors in jedem Punkt hängt mit der Universalität von zusammen Γ A B C D = N A N B G C D . Das zeigt der letzte Absatz auf Seite 22 von Gerochs Artikel. Aber mir scheint, da wird etwas ausgelassen. Wie wir wissen, ist Einsteins Gleichung nicht konform invariant. Eine konforme Transformation ändert tatsächlich die Raumzeit. Also sind nicht alle asymptotischen Symmetrien "physikalische Symmetrien". Allerdings scheint mir das Gegenteil der Fall zu sein!
Gibt es für eine kompakte 2D-Mannigfaltigkeit eine spurlose Symmetrie σab:∇[aσb]c=0?σab:∇[aσb]c=0?\sigma_{ab}:\nabla_{[a}\sigma_{b]c } = 0?
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