Metrische Determinante und ihre partielle und kovariante Ableitung

Frage : ∇ A ∇ B G ϕ = ∂ A G ∂ B ϕ ist wahr?

Weil ∇ A G = 0 damit wir schreiben können G ∇ A ∇ B ϕ , aber da sich die Determinante der Metrik nicht wie ein Skalar transformiert, können wir keine partielle Ableitung anstelle einer kovarianten Ableitung schreiben.

G ist kein Tensor und dort können wir keine kovariante Ableitungswirkung darauf definieren, also weiß ich nicht, was Sie damit meinen ∇ A G . Können Sie das verdeutlichen?
@Prahar Es ist möglich, eine kovariante Ableitung für eine Skalardichte zu definieren ρ ( X ) als ∇ ich ρ = ( ∂ ich − Γ l ich l ) ρ , vgl. N. Straumann General Relativity (2013), S. 663. Es kann leicht überprüft werden, ob dies erfüllt ist ∇ ich G = 0 .
@0celo7 - cool. Wusste ich nicht.

Antworten (2)

G = 1 4 ! ε A B C D ε e F G H G A e G B F G D G G D H ∴ ∇ M G = 1 3 ! ε A B C D ε e F G H G A e G B F G D G ∇ M G D H = 0 .
Beachten Sie, dass ε A B C D ist Levi-Civita-Symbol, es ist konstant. Es ist Tensordichte von Gewicht 0,5 und machen G sei eine Tensordichte des Gewichts 1.

Ja, es ist wahr, da Sie die Leibniz-Regel wie Sie verwenden können und da die kovariante Ableitung von G ist null, wie du sagst.

Aber Ihr Kommentar zu Teilwerten und kovarianten Ableitungen ist leicht irreführend. Ob es sich um einen Tensor oder eine Tensordichte handelt, ist nicht die Frage. Wenn die Christoffel-Symbole an diesem Punkt nicht Null sind, können Sie niemals Teilzahlen anstelle von kovarianten Ableitungen verwenden. Und wenn sie null sind, können Sie Teiltöne verwenden, egal ob der Tensor ein echter Tensor oder eine Tensordichte ist, denn obwohl die Formel für die kovariante Ableitung einer Tensordichte ein wenig anders ist als die für einen echten Tensor, beinhaltet sie immer noch nur die Teiltöne und die Christoffel-Symbole.

Metrische Determinante und ihre partielle und kovariante Ableitung
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