Transport von Tangentenvektoren bei Lie-Ableitungen

Question

Transport von Tangentenvektoren bei Lie-Ableitungen

JG123

Ich arbeite derzeit daran, die (intrinsische) Differentialgeometrie zu verstehen, die der Allgemeinen Relativitätstheorie zugrunde liegt, und ich denke, ich könnte von einem intuitiveren Verständnis des Prozesses der Bildung der Lie-Ableitung eines Vektorfelds in Bezug auf ein anderes Vektorfeld profitieren.

Aus diesem Grund stelle ich diese Frage. Bildhaft verstehe ich, was mit Tangentenvektoren passiert, wenn wir sie parallel entlang von Kurven transportieren, wenn wir kovariante Ableitungen nehmen. Daher versuche ich zu verstehen, was mit Tangentenvektoren passiert, wenn wir sie entlang ganzzahliger Kurven von Vektorfeldern "transportieren", wenn wir Lie-Ableitungen von Vektorfeldern nehmen.

Um meinen Standpunkt weiter zu veranschaulichen, betrachten Sie das folgende Beispiel.

Lassen $V$ Und $W$ Seien glatte Vektorfelder auf einer (sagen wir glatten) Mannigfaltigkeit $M$ . Lassen $\gamma_w$ bezeichnen eine Integralkurve von $W$ und lass $q = \gamma_w (s)$ sei ein beliebiger Punkt im Bild von $\gamma_w$ .

Lassen $\phi^{x}$ ein Element der lokalen Ein-Parameter-Gruppe von sein $W$ , das ist, $\phi^{x}$ ist der Fluss des Vektorfeldes $W$ nach Parameter $x$ entlang $\gamma_w$ .

Wir berechnen dann die Lie-Ableitung von $V$ gegenüber $W$ bei $q$ , $\mathcal{L}_W V(q)$ (So $\mathcal{L}_W V$ ist ein Vektorfeld an $M$ ), folgendermaßen.

Wir lassen zunächst den Tangentenvektor $V(\gamma_w(s+\epsilon)$ ) "fließen" zurück aus $\gamma_w(s+\epsilon)$ Zu $q$ . Der resultierende Tangentenvektor bei $q$ wird von gegeben $d\phi^{-\epsilon}(V(\gamma_w(s+\epsilon))$ (Hier $d\phi^{-\epsilon}$ ist das Differential von $\phi^{-\epsilon}$ ). Wir subtrahieren dann $V(q)$ von diesem Tangentenvektor (diese Subtraktionsoperation ist jetzt wohldefiniert) und teilen Sie das Ergebnis durch $\epsilon$ . Wir nehmen dann die Grenze als $\epsilon \rightarrow 0$ um eine echte Ableitung des Vektorfeldes zu erhalten $V$ entlang einer Integralkurve von $W$ .

Das ist,

L_{W} v (Q) = lim_{ϵ \to 0} \frac{D ϕ^{- ϵ} (v (γ_{w} (S + ϵ)) - v (Q)}{ϵ} = \frac{D}{D T} ((D ϕ^{- T} \circ v \circ ϕ^{T}) (Q)) |_{T = 0}

$\begin{equation} \mathcal{L}_W V(q) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{d\phi^{-\epsilon}(V(\gamma_w(s+\epsilon))- V(q)}{\epsilon} =\frac{d}{dt} ((d\phi^{-t} \circ V \circ \phi^t) (q))\rvert_{t = 0} \end{equation}$

Meine Frage ist nun folgende. Geometrisch/bildlich, was passiert mit $V(\gamma_w(s+\epsilon)$ ) wenn es "fließt" aus $\gamma_w(s+\epsilon)$ Zu $q$ , und warum funktioniert das Differential $d\phi^{-\epsilon}$ diesen Lie-transportierten Tangentenvektor ausgeben?

Vielen Dank im Voraus.

Anmerkungen

Dies ist eine modifizierte Version einiger (inzwischen gelöschter) Fragen, die ich auf dieser Website und in Math StackExchange gepostet habe. Außerdem suche ich, wie oben erwähnt, nach einer intuitiven Antwort, nicht nach einer algebraischen oder rechnerischen. Daher bin ich völlig einverstanden mit einer Antwort, die diese Vektorfelder als kleine Pfeile behandelt, die über die Mannigfaltigkeit verstreut sind.

Ich sollte auch sagen, dass ich viele Fragen zur Intuition hinter der Lie-Ableitung untersucht habe, insbesondere wie sie sich von der kovarianten Ableitung unterscheidet. Ich konnte jedoch keine zufriedenstellende Antwort finden, die die obige Frage aus geometrischer / intuitiver Sicht beantwortet. Ich schätze, dass ich hier nach der Perspektive eines Physikers suche.

abhijit975

Sie können diese Antwort in mathSE für ein intuitives Verständnis überprüfen: math.stackexchange.com/questions/2145617/…

ACuriousMind

Sie haben an dieser Frage viele triviale Änderungen vorgenommen, z. B. das Ersetzen von "a second" durch "another". Bitte tun Sie das nicht - jede Bearbeitung stößt die Frage in die "aktive" Warteschlange, und dies sollte nur getan werden, wenn sich tatsächlich etwas geändert hat . Änderungen, die Fehler korrigieren, sind in Ordnung, selbst wenn sie geringfügig sind, aber das ständige Anpassen von Formulierungen an etwas Äquivalentes ist es nicht.

Antworten (1)

Transport von Tangentenvektoren bei Lie-Ableitungen

Sie können diese Antwort in mathSE für ein intuitives Verständnis überprüfen: math.stackexchange.com/questions/2145617/…
Sie haben an dieser Frage viele triviale Änderungen vorgenommen, z. B. das Ersetzen von "a second" durch "another". Bitte tun Sie das nicht - jede Bearbeitung stößt die Frage in die "aktive" Warteschlange, und dies sollte nur getan werden, wenn sich tatsächlich etwas geändert hat . Änderungen, die Fehler korrigieren, sind in Ordnung, selbst wenn sie geringfügig sind, aber das ständige Anpassen von Formulierungen an etwas Äquivalentes ist es nicht.

Mike Stein · Answer 1

Ich finde das mit der Notation $d\phi^{-\epsilon}$ und so weiter ziemlich wenig hilfreich. Stattdessen gegebene Vektorfelder $X$ Und $Y$ Ich stelle mir den Vektor vor $Y$ bei $x$ als kleiner Pfeil auf eine Flüssigkeit gemalt, deren Geschwindigkeitsfeld ist $X$ . Das Ende des Pfeils ist bei $x$ und seinen Kopf an $x+\eta Y$ , Wo $\eta$ ist eine kleine Zahl. Nach der kurzen Zeit $\epsilon$ der Schwanz der $Y$ Pfeil wurde von der Flüssigkeit mitgerissen $x+\epsilon X$ und sein Kopf ist, wohin er getragen wurde. Man subtrahiert den strömungsgeführten $Y$ -Pfeil vom Wert des Vektorfeldes $Y(x+\epsilon X)$ . Letzteres wird durch den kleinen Pfeil dargestellt, dessen Schwanz an ist $x+\epsilon X$ und wessen Kopf ist $(x+\epsilon X)+\eta Y(x+\epsilon X)$ . Dann teilst du durch $\epsilon$ und von $\eta$ . Das Ergebnis ist ${\mathcal L}_XY$ .

Danke für deine Antwort @mike stone und ich entschuldige mich für meine späte Antwort. Ich denke, der springende Punkt bei meinem Problem ist, was mit dem "Kopf" des passiert $Y$ Pfeil. Ich habe Mühe, mir vorzustellen, wo es landet, wenn die $Y$ Pfeil wird von der Flüssigkeit (deren Geschwindigkeitsfeld ist $X$ ) Zu $x + \epsilon X$ .
Ich schätze, es liegt an $x^\mu +\epsilon X^\mu +\eta \epsilon Y^\nu \partial_\nu X^\mu$ Weil $({\mathcal L}_XY)^\mu = X^\nu \partial_\nu Y^\mu- Y^\nu \partial_\nu X^\mu$ .
Gibt es eine Möglichkeit, diesen Ausdruck bildlich zu verstehen?
Ja. Der $X$ die Strömung bei bei $x+\eta Y$ Ist $X(x)+\eta Y\partial X$ , also jeder Begriff in $X^\nu \partial_\nu Y^\mu -Y^\nu \partial_\nu X^\mu$ hat eine bildliche Deutung.
Verzeihen Sie die Frage, aber was ist diese „bildliche Interpretation“ genau? Oder wäre es lohnender, die Berechnungen selbst durchzugehen und zu sehen, was ich daraus gewinnen kann?
Zeichnen Sie einfach die Bilder der Köpfe und Schwänze der Vektoren!

Transport von Tangentenvektoren bei Lie-Ableitungen

JG123

abhijit975

ACuriousMind

Antworten (1)

Mike Stein

JG123

Mike Stein

JG123

Mike Stein

JG123

Mike Stein

JG123

Intuition hinter Differentialoperatoren als Basisvektoren einer Mannigfaltigkeit (Raumzeit)

Wie berechnet man die kovariante Ableitung ∇eβeα∇eβeα\nabla_{\bf e_\beta}{\bf e}_\alpha eines Basisvektors entlang eines anderen Basisvektors?

Sind kovariante Ableitungen von Killing-Vektorfeldern symmetrisch?

Geometrische Bedeutung des Paralleltransports

Warum wird der Einheitsvektor als partielle Ableitung in GR dargestellt?

Auf Christoffel-Symbol- und Vektorfeldern

Werden Indizes in der Allgemeinen Relativitätstheorie innerhalb oder außerhalb partieller Ableitungen konventionell erhöht?

Warum ist die absolute Steigung des metrischen Tensors ∇αgμν=0∇αgμν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 in jedem Koordinatensystem? [Duplikat]

Lügenderivat in diesem Papier [geschlossen]

Wie zeigt man, dass jedes Killing-Vektorfeld eine Materiekollineation ist?