Sind kovariante Ableitungen von Killing-Vektorfeldern symmetrisch?

Question

Sind kovariante Ableitungen von Killing-Vektorfeldern symmetrisch?

Benutzer24999

Ich lese die Lecture Notes on General Relativity von Matthias Blau , und in Abschnitt 9.1 (Punkt 1) schreibt er:

Lassen $K^\mu$ ein Killing-Vektorfeld sein , und ${x^\mu(\tau)}$ ein Geodät sein. Dann die Menge
$Q_{K} = K_{μ} {\dot{X}}^{μ}$ $Q_K=K_\mu\dot{x}^\mu$ entlang der Geodäten konstant ist.

Jetzt schreibt er in Gleichung (9.2).

\nabla_{v} K_{μ} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{μ} = \frac{1}{2} (\nabla_{v} K_{μ} + \nabla_{μ} K_{v}) {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v}

$\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu=\frac{1}{2}(\nabla_\nu{K}_\mu+\nabla_\mu{K}_\nu)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu$ die aufgrund der Killing-Gleichung verschwindet.

Was ich nicht wirklich verstehe ist warum ${\nabla_\nu{K}_\mu-\nabla_\mu{K}_\nu=0}$ . Ich sehe das, weil ${\mu,\nu}$ sind dann Dummy-Indizes

\begin{aligned} \nabla_{v} K_{μ} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} & = \nabla_{μ} K_{v} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{μ} \\ (1) & ⟹ \nabla_{v} K_{μ} - \nabla_{μ} K_{v} = 0 \end{aligned}

$\begin{align}\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu&=\nabla_\mu{K}_\nu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu\\&\Longrightarrow\,\nabla_\nu{K}_\mu-\nabla_\mu{K}_\nu=0 \tag{1}\end{align}$ Ist dieses Argument gültig? Wenn ja, tut es

(1)

$(1)$ allgemein für Tötungsvektoren halten? Da ich mir fast sicher bin, dass dies trotz des Titels meiner Frage nicht der Fall ist (alle Killing-Vektorfelder wären Gradientenfelder), geschieht dies nur entlang der Geodäte? Wenn ja, welche Interpretation hätte diese Bedingung?

John

Er sagt nicht, dass der antisymmetrische Teil verschwinden muss, tatsächlich tut er das im Allgemeinen nicht. Er sagt, dass nur der symmetrische Teil zum Ausdruck beiträgt. In der Tat, wenn Sie einen Vektor haben,

V^{ν}

$V^\nu$ , und ein Tensor

T_{μ ν}

$T_{\mu\nu}$ , dann nur symmetrischer Teil von

T

$T$ trägt bei zu

T_{μ ν} V^{μ} V^{ν}

$T_{\mu\nu} V^\mu V^\nu$ . In seinem Fall

T = \nabla K

$T=\nabla K$ Und

V^{ν} = {\dot{x}}^{ν}

$V^\nu=\dot{x}^\nu$

Antworten (1)

Sind kovariante Ableitungen von Killing-Vektorfeldern symmetrisch?

Er sagt nicht, dass der antisymmetrische Teil verschwinden muss, tatsächlich tut er das im Allgemeinen nicht. Er sagt, dass nur der symmetrische Teil zum Ausdruck beiträgt. In der Tat, wenn Sie einen Vektor haben, $V^\nu$ , und ein Tensor $T_{\mu\nu}$ , dann nur symmetrischer Teil von $T$ trägt bei zu $T_{\mu\nu} V^\mu V^\nu$ . In seinem Fall $T=\nabla K$ Und $V^\nu=\dot{x}^\nu$

Edvard · Answer 1

Ein Tötungsvektor $K^\mu$ ist definiert als eine Vektor-Lie-Ableitung der Metrik, entlang derer verschwindet.

L_{K} G_{μ v} = 0, ⟹ \nabla_{μ} K_{v} + \nabla_{v} K_{μ} = 0.

$\begin{equation} \mathcal{L}_K g_{\mu\nu}=0, \quad \Longrightarrow \nabla_\mu K_\nu+\nabla_\nu K_\mu=0. \end{equation}$ Ich denke, es besteht keine Notwendigkeit, die Ableitung dieser Gleichung explizit zu schreiben, da Sie sie überall finden können.

Zu deiner Frage nach der Antisymmetrisierung. Beginnen wir mit dem Ausdruck

\begin{aligned} \nabla_{v} K_{μ} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} & = \nabla_{μ} K_{v} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{μ} \\ (1) & ⟹ (\nabla_{v} K_{μ} - \nabla_{μ} K_{v}) {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} = 0 \end{aligned}

$\begin{align}\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu&=\nabla_\mu{K}_\nu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu\\&\Longrightarrow\,(\nabla_\nu{K}_\mu-\nabla_\mu{K}_\nu)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu=0 \tag{1}\end{align}$ In dieser Form ist die letzte Gleichung trivial, da wir einen antisymmetrischen Tensor mit einem symmetrischen kontrahieren

{\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{ν}

$\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu$ . Allerdings kann man hieraus die Gleichung nicht ableiten

\nabla_{μ} K_{v} - \nabla_{v} K_{μ} = 0

$\nabla_\mu K_\nu-\nabla_\nu K_\mu=0$ da dies nur bei Kontraktion mit einem symmetrischen Tensor gilt.

Daher die Killing-Gleichung $\nabla_\mu K_\nu+\nabla_\nu K_\mu=0$ die von Blau verwendet wurde, stammt eigentlich aus der Definition am Anfang dieses Beitrags. Die Symmetrisierung im Ausdruck $\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu$ wie bereits von John erwähnt, kommt von der Kontraktion mit dem symmetrischen Tensor $\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu$ . Im Detail:

\begin{aligned} \nabla_{v} K_{μ} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{μ} & = \frac{1}{2} (\nabla_{v} K_{μ} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{μ} + \nabla_{v} K_{μ} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{μ}) \\ = \frac{1}{2} (\nabla_{v} K_{μ} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{μ} + \nabla_{a} K_{β} {\dot{X}}^{a} {\dot{X}}^{β}) \\ = \frac{1}{2} (\nabla_{v} K_{μ} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{μ} + \nabla_{a} K_{β} {\dot{X}}^{β} {\dot{X}}^{a}) \\ = \frac{1}{2} (\nabla_{v} K_{μ} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{μ} + \nabla_{μ} K_{v} {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{μ}) \\ = \frac{1}{2} (\nabla_{v} K_{μ} + \nabla_{μ} K_{v}) {\dot{X}}^{v} {\dot{X}}^{μ}) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu&=\frac12(\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu+\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu)\\ &=\frac12(\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu+\nabla_\alpha{K}_\beta\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta)\\ &=\frac12(\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu+\nabla_\alpha{K}_\beta\dot{x}^\beta\dot{x}^\alpha)\\ &=\frac12(\nabla_\nu{K}_\mu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu+\nabla_\mu{K}_\nu\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu)\\ &=\frac12(\nabla_\nu{K}_\mu+\nabla_\mu{K}_\nu)\dot{x}^\nu\dot{x}^\mu). \end{aligned} \end{equation}$ Hier in der zweiten Zeile habe ich nur die Indizes umbenannt, in der dritten die

{\dot{x}}^{α}

$\dot{x}^\alpha$ Und

{\dot{x}}^{β}

$\dot{x}^\beta$ wurden permutiert und dann habe ich die Indizes wieder umbenannt.

Eine Frage: Die Bedingung, ein Killing Field zu sein, impliziert dies für Vektorfelder $X,Y$ wir werden haben $g(\nabla_X K, Y) + g(X,\nabla_Y K)=0$ . In einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (dh Signatur alle +) impliziert dies offensichtlich die Auswahl einer orthonormalen Basis $e_{\mu}$ und nehmen $X = e_\mu$ , $Y = e_\nu$ , Das $\nabla_\mu K_\nu + \nabla_\nu K_\mu = 0$ . Aber in einer Pseud-Riemannschen Mannigfaltigkeit haben wir $g(e_\mu,e_\nu)=\pm \delta_{\mu\nu}$ . Wie wirkt sich dies nicht auf das Pluszeichen in Killings Gleichung aus, wenn in die Komponentenversion konvertiert wird?

Sind kovariante Ableitungen von Killing-Vektorfeldern symmetrisch?

Benutzer24999

John

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Edvard

Gold

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