Tötungsvektoren und konservierte Größen in der allgemeinen Relativitätstheorie

Question

Tötungsvektoren und konservierte Größen in der allgemeinen Relativitätstheorie

Sito

Ich weiß, dass diese Frage bereits gestellt und beantwortet wurde (siehe zum Beispiel hier und hier ) und obwohl die zweite Antwort meinem Problem ziemlich nahe kommt (selbst wenn ich meine Frage eins anspreche, wird sie nur mit einem "per Definition “), sehe ich immer noch nicht, wo meine Argumentation genau scheitert.

Aufstellen

Lassen $\gamma : I \to M$ , für $I\subset\mathbb{R}$ , sei dann eine glatte Kurve $\dot\gamma(\lambda)$ ist ein Element des Tangentialraums at $\gamma(\lambda)$ , die wir mit bezeichnen werden $T_{\gamma(\lambda)}M$ . Wir können jetzt ein lokales Diagramm auswählen $x$ auf einer offenen Teilmenge $U$ von $M$ , so dass wir ausdrücken können $\dot\gamma(\lambda)$ als $\dot\gamma(\lambda)\equiv \dot x^\mu(\lambda)\partial_\mu$ .

Wenn $\nabla$ ist der Riemannsche Zusammenhang an $M$ , dann haben wir eine Geodäte als Kurve nach innen definiert $M$ das befriedigt $\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0$ .

Lassen $K$ ein Killing-Vektorfeld sein. Dann gilt scheinbar:

\frac{D}{D λ} (K_{μ} {\dot{X}}^{μ}) = 0.

$\frac{d}{d\lambda}(K_\mu \dot x^\mu)=0.$

Wenn Sie versuchen, dies direkt zu berechnen:

\begin{aligned} \frac{D}{D λ} (K_{μ} {\dot{X}}^{μ}) & \equiv \nabla_{\dot{γ}} (K_{μ} {\dot{X}}^{μ}) = {\dot{X}}^{v} \nabla_{\partial_{v}} (K_{μ} {\dot{X}}^{μ}) = {\dot{X}}^{v} (K_{μ} \nabla_{\partial_{v}} {\dot{X}}^{μ} + K_{μ, v} {\dot{X}}^{μ}) \\ = (\nabla_{\partial_{v}} {\dot{X}}^{μ}) {\dot{X}}^{v} K_{μ} + \frac{1}{2} (K_{μ, v} + K_{v, μ}) {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} \\ \overset{(*)}{=} (\nabla_{\partial_{v}} {\dot{X}}^{μ}) {\dot{X}}^{v} K_{μ} + \frac{1}{2} (\underset{= 0}{\underset{⏟}{K_{μ; v} + K_{v; μ}}}) {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} + Γ_{μ v}^{λ} K_{λ} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} \\ = (\nabla_{\partial_{v}} {\dot{X}}^{μ}) {\dot{X}}^{v} K_{μ} + Γ_{μ v}^{λ} K_{λ} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v} . \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{d}{d\lambda}(K_\mu\dot x^\mu)&\equiv\nabla_{\dot\gamma}(K_\mu \dot x^\mu) = \dot x^\nu \nabla_{\partial_\nu}(K_\mu\dot x^\mu) = \dot x^\nu (K_\mu \nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu +K_{\mu,\nu}\dot x^\mu)\\ &= (\nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu)\dot x^\nu K_\mu + \frac{1}{2}(K_{\mu,\nu}+K_{\nu,\mu})\dot x^\mu\dot x^\nu\\ &\overset{(*)}{=} (\nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu)\dot x^\nu K_\mu + \frac{1}{2}(\underbrace{K_{\mu;\nu}+K_{\nu;\mu}}_{=0})\dot x^\mu\dot x^\nu + \Gamma^\lambda_{\mu\nu}K_\lambda\dot x^\mu\dot x^\nu\\ &= (\nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu)\dot x^\nu K_\mu+ \Gamma^\lambda_{\mu\nu}K_\lambda\dot x^\mu\dot x^\nu.\end{align*}$

Frage

Im Ausdruck $(\nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu)\dot x^\nu K_\mu$ der einzige Teil, der für alle Null sein kann $\lambda$ Ist $\nabla_{\partial_\nu}\dot x^\mu$ . Ich verstehe nicht warum. Das hat vermutlich etwas damit zu tun, dass wir hier über Geodäten sprechen, aber ich verstehe nicht, wie die Bedingung ist $\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0$ führt dazu.
Im Schritt $(*)$ Ich habe die partiellen Ableitungen auf kovariante Ableitungen umgestellt $,\to\, ;$ um die Killing-Gleichung zu verwenden. Dadurch entstand der Begriff proportional zu $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}K_\lambda$ . Kann jemand erklären, warum dieser Term Null sein soll?

Cinaed Simson

Seit

\frac{d}{d λ} = {\dot{x}}^{μ} \partial_{μ}

$\frac{d}{d\lambda}=\dot x^{\mu}\partial_{\mu}$ ist dann der Tangentenvektor

{\dot{x}}^{μ} \partial_{μ} (K_{ν} {\dot{x}}^{ν}) = {\dot{x}}^{μ} (\partial_{μ} K_{ν}) {\dot{x}}_{ν} + {\dot{x}}^{μ} K_{μ} \partial_{μ} {\dot{x}}^{ν})

$\dot x^{\mu}\partial_{\mu}(K_{\nu}\dot x^{\nu})= \dot x^{\mu}(\partial_{\mu}K_{\nu})\dot x_{\nu}+\dot x^{\mu}K_{\mu}\partial_{\mu}\dot x^{\nu})$ wo der letzte Begriff auf der rechten Seite

K_{μ} \partial_{μ} {\dot{x}}^{ν} = 0

$K_{\mu}\partial_{\mu}\dot x^{\nu}=0$ da die affine Kurve entlang ist

{\dot{x}}^{μ}

$\dot x^{\mu}$ . Verwenden

{\dot{x}}^{μ} \partial_{μ} (K_{ν} {\dot{x}}^{ν}) = {\dot{x}}^{μ} (\partial_{μ} K_{ν}) {\dot{x}}_{ν}

$\dot x^{\mu}\partial_{\mu}(K_{\nu}\dot x^{\nu})= \dot x^{\mu}(\partial_{\mu}K_{\nu})\dot x_{\nu}$ Sie sollten in der Lage sein, die Killing-Bedingung zu verwenden und mit den Indizes zu spielen, um das Ergebnis anzuzeigen. Es ist vielleicht nicht trivial.

Cinaed Simson

Und. übrigens seit

⟨ K, \dot{γ} ⟩ = (K_{ν} {\dot{x}}^{ν})

$\langle K,\dot\gamma\rangle=(K_\nu \dot x^\nu)$ ist dann ein Skalar

Γ_{μ ν}^{λ} = 0

$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=0$ .

Sito

@CinaedSimson Könnten Sie vielleicht etwas detaillierter erklären, warum genau das

Γ_{λ ν}^{μ} = 0

$\Gamma^\mu_{\lambda\nu}=0$ ?

Cinaed Simson

Es gibt keine Basisvektoren

(K_{ν} {\dot{x}}^{ν})

$(K_\nu \dot x^\nu)$ ist eine Kontraktion - es ist eine Skalarfunktion. Daher reduziert sich die kovariante Ableitung auf eine partielle Ableitung. Da die Christoffel-Symbole definiert sind als

\nabla_{\partial_{i}} (\partial_{j}) = Γ_{i j}^{k} \partial_{k}

$\nabla_{\partial_{i}}(\partial_{j})=\Gamma_{ij}^{k}\partial_{k}$ , das impliziert

Γ_{i j}^{k} = 0.

$\Gamma^{k}_{ij}=0.$

Antworten (1)

Tötungsvektoren und konservierte Größen in der allgemeinen Relativitätstheorie

Seit $\frac{d}{d\lambda}=\dot x^{\mu}\partial_{\mu}$ ist dann der Tangentenvektor $\dot x^{\mu}\partial_{\mu}(K_{\nu}\dot x^{\nu})= \dot x^{\mu}(\partial_{\mu}K_{\nu})\dot x_{\nu}+\dot x^{\mu}K_{\mu}\partial_{\mu}\dot x^{\nu})$ wo der letzte Begriff auf der rechten Seite $K_{\mu}\partial_{\mu}\dot x^{\nu}=0$ da die affine Kurve entlang ist $\dot x^{\mu}$ . Verwenden $\dot x^{\mu}\partial_{\mu}(K_{\nu}\dot x^{\nu})= \dot x^{\mu}(\partial_{\mu}K_{\nu})\dot x_{\nu}$ Sie sollten in der Lage sein, die Killing-Bedingung zu verwenden und mit den Indizes zu spielen, um das Ergebnis anzuzeigen. Es ist vielleicht nicht trivial.
Und. übrigens seit $\langle K,\dot\gamma\rangle=(K_\nu \dot x^\nu)$ ist dann ein Skalar $\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=0$ .
@CinaedSimson Könnten Sie vielleicht etwas detaillierter erklären, warum genau das $\Gamma^\mu_{\lambda\nu}=0$ ?
Es gibt keine Basisvektoren $(K_\nu \dot x^\nu)$ ist eine Kontraktion - es ist eine Skalarfunktion. Daher reduziert sich die kovariante Ableitung auf eine partielle Ableitung. Da die Christoffel-Symbole definiert sind als $\nabla_{\partial_{i}}(\partial_{j})=\Gamma_{ij}^{k}\partial_{k}$ , das impliziert $\Gamma^{k}_{ij}=0.$

Sam Gralla · Answer 1

Ihr Christoffel-Term ist um den Faktor 2 verschoben und es fehlen einige x-Punkte. Wenn Sie es beheben, ist die letzte Zeile die kovariante Ableitung auf der Weltlinie:

{\dot{X}}^{v} \nabla_{v} {\dot{X}}^{μ} = {\dot{X}}^{v} \partial_{v} {\dot{X}}^{μ} + Γ_{a β}^{μ} {\dot{X}}^{a} {\dot{X}}^{β}

$\dot{x}^\nu \nabla_\nu \dot{x}^\mu = \dot{x}^\nu \partial_\nu \dot{x}^\mu + \Gamma^\mu_{\alpha \beta} \dot{x}^\alpha \dot{x}^\beta$ .

Es gibt jedoch keinen Grund, jemals Koordinatenableitungen zu verwenden:

\frac{D}{D λ} (K_{μ} {\dot{X}}^{μ}) = {\dot{X}}^{v} \nabla_{v} (K_{μ} {\dot{X}}^{μ}) = ({\dot{X}}^{v} \nabla_{v} K_{μ}) {\dot{X}}^{μ} + K_{μ} ({\dot{X}}^{v} \nabla_{v} {\dot{X}}^{μ}) = 0

$\frac{d}{d\lambda} (K_\mu \dot{x}^\mu) = \dot{x}^\nu \nabla_\nu (K_\mu \dot{x}^\mu) = (\dot{x}^\nu \nabla_\nu K_\mu) \dot{x}^\mu + K_\mu(\dot{x}^\nu \nabla_\nu \dot{x}^\mu) = 0$

Der erste Term verschwindet durch die Killing-Gleichung und der zweite durch die affin parametrisierte geodätische Gleichung.

Vielen Dank für den Hinweis auf das Fehlende $x$ (Ich glaube, ich habe es jetzt richtig korrigiert). Könnten Sie vielleicht näher darauf eingehen, "die letzte Linie wird die kovariante Ableitung auf der Weltlinie sein"? Ich bin mir nicht sicher, was Sie hier genau meinen oder warum das Ergebnis dann Null wäre. Vielen Dank auch für den Hinweis auf die alternative Methode zur Berechnung des Ergebnisses. Auch wenn ich nicht wirklich Koordinatenableitungen verwenden muss, würde ich dennoch gerne wissen, wie es mit ihnen gemacht werden könnte.
Sie haben immer noch einen zusätzlichen Faktor von 2 vor den Gamma-Termen - haben Sie die 1/2 von der Symmetrierung vergessen? Ich werde den Beitrag bearbeiten, um zu zeigen, was ich mit kovarianten Ableitungen auf der Weltlinie meine

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