Wie zeigt man, dass das Produkt eines Killing-Tensors und eines Tangentenvektors entlang einer Geodäte erhalten bleibt?

Betrachten wir ein Killing Field$K_\mu$. Jetzt ist das Produkt aus dem Killing-Feld und dem Tangentenvektor$Q_K = K_\mu \dfrac{dx^\mu}{d\lambda}$.

Nun, entlang einer Geodäte, die durch einen affinen Parameter parametrisiert ist$\lambda$,

$\dfrac{d}{d\lambda}Q_K = \dfrac{d}{d\lambda}\big(K_\mu \dfrac{dx^\mu}{d\lambda}\big)$

$=\dfrac{\partial K_\mu}{\partial x^\nu} \dfrac{dx^\nu}{d\lambda}\dfrac{dx^\mu}{d\lambda} + K_\mu \dfrac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}$

$=K_{\alpha;\nu}+K_\alpha \Gamma^\alpha _{\mu\nu}\dfrac{dx^\nu}{d\lambda}\dfrac{dx^\mu}{d\lambda}+ K_\mu \dfrac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}$

$=K_\mu \bigg(\dfrac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}+\Gamma^\mu _{\alpha\nu}\dfrac{dx^\alpha}{d\lambda}\dfrac{dx^\nu}{d\lambda}\bigg) = 0$

Also die Menge$Q_K$wird entlang der Geodäte konserviert.

Bearbeiten Die Tatsache, dass entlang der Geodäte eine konservierte Größe offensichtlich ist, hängt wunderbar mit den Sätzen von Noether zusammen, wie sie von childofsaturn in dieser Antwort veranschaulicht werden .

Man kann direkt zeigen, dass es entlang der Geodäten erhalten bleibt, wie Dvij es getan hat, aber es ist auch aufschlussreich festzustellen, dass dies nur ein Spezialfall von Noethers Theorem ist. Insbesondere dann, wenn eine Metrik eine durch ein Vektorfeld erzeugte Isometrie hat$K^{a}$der Lagrange$L = \frac{1}{2}g_{ab}\dot{x}^a \dot{x}^b$ist invariant unter der Transformation$\delta x^{a} = \epsilon K^{a}$. Erinnern Sie sich nun daran, dass eine Lagrange-Funktion unter einer Transformation unveränderlich ist$\delta x$, die entsprechende Noether-Ladung ist$J = \delta x \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$. Hier wird das einfach$g_{ab}K^{a}\dot{x}^b.$