Rätsel zum Divergenzsatz

Etwas verwirrt mich bezüglich des Divergenzsatzes. Üblicherweise schreibt man den Divergenzsatz als

$$\begin{equation} \int_\mathcal{M} d^4x \sqrt{-g} \nabla_\mu v^\mu=\int_{\partial \mathcal{M}} d\Sigma_\mu v^\mu \tag{3.22} \end{equation}$$ für irgendein Vektorfeld$v^\mu$, Wo$d\Sigma^\mu$ist das gerichtete Flächenelement. Siehe zum Beispiel Gleichung$(3.22)$in A Relativist's Toolkit von Eric Poisson. Ich überlegte, den Maxwell-Lagrangian in einen Grenzbegriff umzuwandeln, vorausgesetzt, ich bin auf der Schale. Dazu haben wir $$\begin{equation} \begin{split} \int_\mathcal{M}d^4x \sqrt{-g} F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}&=2\int_\mathcal{M}d^4x \sqrt{-g}F^{\mu \nu}\nabla_\mu A_\nu\\ &=2\int_\mathcal{M}d^4x\sqrt{-g}\nabla_\mu \left(F^{\mu \nu}A_\nu \right)\\ &-2\int_\mathcal{M}d^4x\sqrt{-g} \nabla_\mu F^{\mu \nu}A_{\nu} \, \end{split} \end{equation}$$ wobei ich nur die Symmetrie der Christoffel-Symbole und die Antisymmetrie des Faraday-Tensors verwendet habe. Jetzt mit der Bewegungsgleichung $$\begin{equation} \nabla_\mu F^{\mu \nu}=0 \end{equation}$$ und den Divergenzsatz sollte ich schreiben können $$\begin{equation}\label{puzzle} \int_\mathcal{M}d^4x \sqrt{-g} F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}=2\int_{\partial \mathcal{M}} d\Sigma_\mu F^{\mu \nu} A_\nu\,. \end{equation}$$ Nun können wir eine magnetische Lösung betrachten, die durch gegeben ist $$\begin{equation} A=Q(1-\cos{\theta}) d\phi \end{equation}$$ $$\begin{equation} F=dA=Q\sin{\theta} d\theta \wedge d\phi\,. \end{equation}$$

Angesichts dieser Lösung haben wir

$$\begin{equation} F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}=2\frac{Q^2}{r^4}\, \end{equation}$$ unter der Annahme einer Metrik der Form $$\begin{equation} ds^2=-f(r)dt^2+\frac{1}{f(r)}dr^2+r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2)\,. \end{equation}$$ Ich habe es eigentlich mit Reissner-Nordstrom-Schwarzen Löchern mit magnetischer Ladung zu tun, aber ich denke, meine Verwirrung gilt allgemeiner. Meine Verwirrung ist, dass, wenn ich eine Grenze konstant nehme$r$, oder nur eine Grenze, so dass es normal aussieht $$\begin{equation} n_{\mu}=\alpha dt + \beta dr\,, \end{equation}$$ dann die rechte Seite von $$\begin{equation} \int_\mathcal{M}d^4x \sqrt{-g} F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}=2\int_{\partial \mathcal{M}} d\Sigma_\mu F^{\mu \nu} A_\nu\,. \end{equation}$$ scheint trivialerweise null zu ergeben, weil$F$hat nur Winkelkomponenten. Ich denke jedoch, dass es sehr einfach ist, eine Region der Raumzeit zu finden$\mathcal{M}$sodass die linke Seite nicht verschwindet. Was habe ich bei dieser Überlegung falsch gemacht? Ich dachte, es könnte mit der Glätte des Vektorfelds zu tun haben$v^{\mu}=F^{\mu \nu}A_{\nu}$in dem wir den Satz von Stokes anwenden, aber da ich den oben angegebenen Divergenzsatz ohne Annahmen zum Vektorfeld gesehen habe, bin ich mir nicht sicher, ob dies das Problem ist. Das Vektorfeld ergibt $$\begin{equation} v=\frac{Q^2}{r^4 \sin{\theta}}(1-\cos{\theta})\frac{\partial}{\partial \theta}\,, \end{equation}$$ Das kann man sehen$v$hat eine Singularität bei$\theta=\pi$. Dies könnte ein Koordinatenartefakt sein, aber das ist leicht zu erkennen$g_{\mu \nu}v^\mu v^\nu$hat auch diesen singulären Punkt. Aus diesem Grund halte ich es für problematisch, den Divergenzsatz darauf anzuwenden$v$. Verstehe ich das Problem richtig?

EDIT1: Ich erwäge eine Region$\mathcal{M}$der Raumzeit, die den Ursprung nicht enthält. Da ich dies im Zusammenhang mit einem Schwarzen Loch denke, möchte ich die Singularität nicht einbeziehen$r=0$in dem Patch, über den ich integriere. Als Beispiel für dieses Verfahren siehe Gl.$(5.15)$von https://arxiv.org/abs/1606.08307 , wo von einer elektrischen Lösung ausgegangen wird. Wenn wir jetzt von einer elektrischen Lösung ausgehen, haben wir

$$\begin{equation} A=\left(\frac{Q}{r_{+}}-\frac{Q}{r} \right)dt \end{equation}$$ $$\begin{equation} F=dA=\frac{Q^2}{r^2}dr \wedge dt \end{equation}$$ Wo$r_{+}$ist der Ereignishorizont. Somit $$\begin{equation} F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}=-2\frac{Q^2}{r^4}\,, \end{equation}$$ was die Massenintegration bedeutet$\mathcal{M}$ändert sich nur um ein Vorzeichen gegenüber der magnetischen Lösung. Dies hängt mit der elektromagnetischen Dualität zusammen. In diesem Fall führt die Verwendung des Stokes-Theorems jedoch zu einem Grenzbeitrag ungleich Null, wie es meiner Meinung nach sein sollte. Jetzt ist mein Rätsel, warum wir in einem Fall Stokes verwenden können und im anderen scheint es nicht zu funktionieren. Es stellt sich heraus, dass in diesem Fall das Vektorfeld, in dem wir Stokes anwenden, ist $$\begin{equation} v=\frac{Q}{r^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{+}} \right) \frac{\partial}{\partial r} \end{equation}$$ die überall glatt zu sein scheint, wenn wir uns das ansehen$g(v,v)$, unter Verwendung eines guten Koordinatensystems.

EDIT2: Laut Introduction to Smooth Manifolds von John M. Lee muss das Vektorfeld glatt sein. Aber wenn das der Fall ist, nehmen wir das an, wenn wir das Variationsprinzip verwenden, um die Maxwell-Gleichungen herzuleiten$F^{\mu \nu}\delta A_\nu$ist glatt, um es zu einem Grenzterm zu machen, der verschwindet. Natürlich sind wir hier abgehoben, aber das kommt mir trotzdem seltsam vor$F^{\mu \nu}A_\mu$erweist sich für eine rein magnetische Lösung als nicht glatt. Hast du irgendwelche Erkenntnisse?