Welche Bedeutung hat ein Tötungshorizont?

Ein Killing-Horizont ist als eine Null-Hyperfläche definiert, die von einem Killing-Vektor erzeugt wird, der dann an dieser Oberfläche null ist. Einige oft zitierte Beispiele stammen aus der Kerr-Raumzeit, wo der Killing-Vektor ∂ T wird an der Ergosphäre null; man kann davon auch eine Linearkombination nehmen ∂ ϕ , die am Ereignishorizont null ist.

Daraus scheint es, dass Killing-Horizonte mit "speziellen" Oberflächen der Raumzeit zusammenhängen, wenn auch nicht immer: Die Minkowski-Raumzeit hat aufgrund ihres hohen Symmetriegrades an jedem Punkt Killing-Horizonte. Können wir neben dem, was die Definition sagt, einige allgemeine Aussagen über Killing horizons machen? Sind sie in irgendeiner vorhersehbaren Weise mit Ereignishorizonten verbunden? Wenn ich eine Metrik habe und einen Killing Horizon finde, was kann ich dazu sagen?

Ich bin mir nicht sicher, ob Minkowski an irgendeinem Punkt einen Tötungshorizont hat, nur am Lichtkegel
@spiridon_the_sun_rotator, aber das kannst du überall übersetzen, oder?
Sie haben Recht, Beobachter können sich an jedem Punkt der Raumzeit befinden
Es ist erwähnenswert, dass die Ergosphäre kein Killerhorizont ist. Obwohl ∂ T dort null ist, ist die Ergosphäre keine Null-Hyperfläche. Nur der Ereignishorizont ist in diesem Fall ein Killing-Horizont (ohne das Innere zu ignorieren) mit Killing-Vektor ∂ T + Ω H ∂ ϕ

Antworten (1)

Die "besonderen" Oberflächen der Raumzeit, die durch Killing-Horizonte definiert werden, sind Null-Hyperoberflächen . Eine Null-Hyperfläche, die eine Hyperfläche ist, deren Normalenvektor an jedem Punkt ein Nullvektor ist (in Bezug auf den lokalen Metriktensor).

Das "langweilige" und triviale Beispiel ist, wie bereits erwähnt, ein Lichtkegel. BEARBEITEN : Aus den Kommentaren geht hervor, dass diese Aussage für die Minkowski-Raumzeit nicht gilt. Dann muss ich sagen, dass ich mir nicht sicher bin, wann das gilt.

In Bezug auf andere Anwendungen fallen mir zwei ein, obwohl sie ziemlich miteinander verbunden sind: Ereignishorizonte von Schwarzen Löchern und Oberflächengravitation κ . Eine schöne Reihe von Folien mit nützlichen Diskussionen darüber finden Sie hier :

Schwarze Löcher

Wörtlich übernommen von hier :

Nach Hawkings Starrheitssatz ist der Ereignishorizont einer stationären, asymptotisch flachen Raumzeit eines Schwarzen Lochs (ergänzt durch bestimmte zusätzliche Annahmen, siehe [19] für einen Überblick) ein Killing-Horizont. Tatsächlich verwendet man oft den Begriff eines Killing-Horizonts, um eine quasi-lokale Definition eines Gleichgewichts-Schwarzen Lochs bereitzustellen.

Ich wollte das Obige nur als "quantitativen" Zusammenhang mit dem Ereignishorizont zeigen, wie Sie gefragt haben. In diesem Fall können Sie also sehen, dass eine physikalische Bedeutung (wenn auch asympotisch) eines Tötungshorizonts darin besteht, dass er dem Ereignishorizont entspricht .

Aber auch schwarze Löcher kommen durch die Oberflächengravitation ins Bild. Siehe unten.

Oberflächengravitation

Die Oberflächengravitation hat eine Bedeutung in der Newtonschen/klassischen Schwerkraft, die in GR nicht dieselbe ist. Vielleicht wurde derselbe Name historisch verwendet, weil man dasselbe Objekt definieren wollte. Aber die beiden Dinge haben heutzutage Unterschiede. Vor allem in schwarzen Löchern.

Die physikalische Bedeutung der GR-Oberflächengravitation κ eines statischen Killing-Horizonts ist die im Unendlichen ausgeübte Beschleunigung, die benötigt wird, um ein Objekt am Horizont zu halten. Mathematisch, wenn k A ein geeignet normierter Killing-Vektor ist, dann ist die Oberflächengravitation durch definiert

k A ∇ A k B = κ k B ,

wo die Gleichung am Horizont ausgewertet wird. Spezifische Lösungen für Schwarze-Loch-Metriken sind hier aufgelistet .

Die Oberflächengravitation ist "physikalisch" interessant, weil sie mit der Temperatur der Hawking-Strahlung zusammenhängt T H :

T H = ℏ C κ 2 π k B .

OK, das klingt nach zu viel verlangt, aber gibt es einen Autoaufkleber für Killing horizons, so wie es einen für event horizons gibt? Kann ich etwas Kurzes sagen, wie ich Folgendes über Ereignishorizonte sagen kann: "Die Dinge können nicht zu ihrem vorherigen kausalen Patch des Penrose-Diagramms zurückkehren, nachdem sie diese Oberfläche überquert haben"? Sicher, die Definition von Killing Horizon selbst ist ziemlich kurz, aber etwas in Bezug darauf, wie sich die Dinge um ihn herum verhalten, und nicht darauf, wie sich mathematische Objekte um ihn herum verhalten, wenn das Sinn macht.
Kenne das leider nicht
Für den Minkowski-Raum ist ein Lichtkegel kein Killing-Horizont, weil es keinen Killing-Vektor gibt, der ihn berührt. Stattdessen sprechen die Leute normalerweise vom Rindler-Raum, der ein Keil des Minkowski-Raums ist, und sein Horizont ist der Punkt, an dem ein Boost-Killing-Vektor null wird.
Erste kleine Anmerkung: Der Lichtkegel ist kein Killing-Horizont, sondern die Oberfläche X 2 − T 2 = 0 ist richtig? Jedenfalls danke für die Antwort! Ich war hauptsächlich an der Verbindung zu Ereignishorizonten interessiert, und das Hawking-Theorem scheint ein guter Ausgangspunkt zu sein.
Ja. Es stellt sich heraus, dass die Ableitung für den Minkowski-Fall auf der Wikipedia-Seite für Killing Horizons steht
Welche Bedeutung hat ein Tötungshorizont?
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