Der Killing-Vektor χ=∂t+ΩH∂ϕχ=∂t+ΩH∂ϕ\chi=\partial_t+\Omega_H\partial_\phi sieht für einen Kerr BH nicht normal zum Killing-Horizont aus

Wie in Carrolls Spacetime and Geometry p. 244, ein Killing-Vektor ist normal zu seinem Killing-Horizont. Mit etwas Hilfe aus dem anderen Forum könnte ich überprüfen, ob dies wahr ist. (FYI, hier der Killing Horizon Σ eines Tötungsvektors χ wird durch eine Null-Hyperfläche definiert, auf der χ ist Null.)

Aber wenn ich versuche, diese allgemeine Aussage auf ein Kerr-BH anzuwenden, passiert etwas Seltsames: In einem Kerr-BH betrachten wir einen Killing-Vektor

χ = ∂ T + Ω H ∂ ϕ ,
Wo Ω H ist darauf ausgelegt zu machen χ am Ereignishorizont null sein,
Σ : R = R H = M + M 2 − A 2 .
Also per Definition Σ ist der Tötungshorizont eines Tötungsvektors χ . Dann nach der allgemeinen Aussage, dies χ muss normal sein Σ aber es sieht nicht so aus, als ob diese Bedingung erfüllt wäre.

Beachten Sie zur Verdeutlichung, dass wir den Normalenvektor von schreiben können Σ als

N μ = ∇ μ ( R − R H ) = ( 0 , 1 , 0 , 0 ) .
Aber dieses N ist nicht parallel zu χ überhaupt. Äquivalent, Tangentenvektoren an Σ was orthogonal zu ist N ist nicht orthogonal zu χ . Das heisst χ ist nicht normal Σ ...?!?!

Ich habe im Moment keine Ahnung ... Wenn Sie sehen, was hier falsch läuft, helfen Sie mir bitte bei diesem Unsinn!

Hast du das mal bei einem Schwarzschild BH probiert? Es hat das gleiche Paradoxon, aber es ist eine einfachere Metrik, sodass es einfacher ist, die Ursache des Problems zu finden. Der Vektor ∂ T ist zeitgemäß für R > R H und raumartig für R < R H und leicht für R = R H , also sowohl tangential zum Horizont als auch senkrecht zum Horizont. Dagegen die Mengen ∇ μ ( R − R H ) sind die Komponenten einer Eins-Form , kein Vektor, und "Länge" des entsprechenden Vektors ∂ R ist undefiniert (unendlich) am Horizont. Um die Dinge klar zu definieren, müssen wir verschiedene Koordinaten verwenden, und dann verschwindet das Paradoxon.

Antworten (1)

Ein Killing-Horizont ist eine Null-Hyperfläche, die durch das Verschwinden der Norm eines Killing-Vektors definiert ist K μ , das ist K μ K μ = 0 . Allerdings ein Vektor A μ ist orthogonal zu einem Vektor B μ wenn ihr Skalar- oder Skalarprodukt verschwindet, das heißt wenn A μ B μ = 0 . In diesem Sinne ist ein Nullvektor orthogonal zu sich selbst.
Ich denke, die Aussage in Carrolls Spacetime and Geometry sollte so gelesen werden.

Der Killing-Vektor χ=∂t+ΩH∂ϕχ=∂t+ΩH∂ϕ\chi=\partial_t+\Omega_H\partial_\phi sieht für einen Kerr BH nicht normal zum Killing-Horizont aus
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