Oberflächengravitation des Kerr-Schwarzen Lochs

Question

Oberflächengravitation des Kerr-Schwarzen Lochs

dingo_d

Ich gehe die Kerr-Metrik durch und folge der Ableitung der Oberflächengravitation durch das 'Relativist's Toolkit' und bin zu einem Teil gekommen, den ich nicht verstehe.

Erstens ist die Metrik gegeben durch

d s^{2} = (\frac{Σ}{ρ^{2}} {Sünde}^{2} θ ω^{2} - \frac{ρ^{2} Δ}{Σ}) d t^{2} - 2 \frac{Σ}{ρ^{2}} {Sünde}^{2} θ ω d ϕ d t + \frac{Σ}{ρ^{2}} {Sünde}^{2} θ d ϕ^{2} + \frac{ρ^{2}}{Δ} d r^{2} + ρ^{2} d θ^{2}

$\mathrm{d}s^2=\left(\frac{\Sigma}{\rho^2}\sin^2\theta\omega^2-\frac{\rho^2\Delta}{\Sigma}\right)\mathrm{d}t^2-2\frac{\Sigma}{\rho^2}\sin^2\theta\omega \mathrm{d}\phi \mathrm{d}t+\frac{\Sigma}{\rho^2}\sin^2\theta \mathrm{d}\phi^2+\frac{\rho^2}{\Delta}\mathrm{d}r^2+\rho^2 \mathrm{d}\theta^2$

Mit

ρ^{2} = r^{2} + a^{2} \cos^{2} θ, Δ = r^{2} - 2 M r + a^{2},

$\rho^2=r^2+a^2\cos^2\theta,\quad \Delta=r^2-2Mr+a^2,$

Σ = (r^{2} + a^{2})^{2} - a^{2} Δ {Sünde}^{2} θ, ω = \frac{2 M a r}{Σ}

$\Sigma=(r^2+a^2)^2-a^2\Delta\sin^2\theta,\quad \omega=\frac{2Mar}{\Sigma}$

Der Tötungsvektor, der am Ereignishorizont null ist, ist

χ^{μ} = \partial_{t} + Ω_{H} \partial_{ϕ}

$\chi^\mu=\partial_t+\Omega_H\partial_\phi$

wo $\Omega_H$ ist die Winkelgeschwindigkeit am Horizont.

Jetzt habe ich die gleiche Norm des Tötungsvektors

χ^{μ} χ_{μ} = g_{μ v} χ^{μ} χ^{v} = \frac{Σ}{ρ^{2}} {Sünde}^{2} θ (Ω_{H} - ω)^{2} - \frac{ρ^{2} Δ}{Σ}

$\chi^\mu\chi_\mu=g_{\mu\nu}\chi^\mu\chi^\nu=\frac{\Sigma}{\rho^2}\sin^2\theta(\Omega_H-\omega)^2-\frac{\rho^2\Delta}{\Sigma}$

Und jetzt sollte ich diese Gleichung verwenden

\nabla_{v} (- χ^{μ} χ_{μ}) = 2 κ χ_{v}

$\nabla_\nu(-\chi^\mu\chi_\mu)=2\kappa\chi_\nu$

Und ich muss zum Horizont schauen. Jetzt am Horizont $\omega=\Omega_H$ Also ist mein erster Term in der Norm Null, aber am Horizont $\Delta=0$ auch, also wie leiten sie diese Seite ab und wie sind sie dazu gekommen?

\nabla_{v} (- χ^{μ} χ_{μ}) = \frac{ρ^{2}}{Σ} \nabla_{v} Δ

$\nabla_\nu(-\chi^\mu\chi_\mu)=\frac{\rho^2}{\Sigma}\nabla_\nu\Delta$

wenn die $\Delta=0$ am Horizont? Seit $\rho$ und $\Sigma$ beide hängen davon ab $r$ , und selbst wenn ich sie bewerte $r_+=M+\sqrt{M^2-a^2}$ sie heben sich nicht gegenseitig auf.

Wie kommen sie zum Endergebnis $\kappa$ ?

Jerry Schirmer

Sie müssen dies in einem Koordinatensystem tun, das am Horizont nicht singulär ist.

dingo_d

Boyer-Lindquist-Koordinaten kommen also nicht in Frage? :\ Aber ich hatte den Eindruck, dass die Berechnung in BL erfolgt :\

dingo_d

Ich habe jetzt im Buch 'Black Holes: An Introduction' gesehen, dass ich eingehende Kerr-Koordinaten verwenden sollte :\

Trimok

@dingo_d: Ich sehe die Formel

\begin{aligned} κ^{2} = - \frac{1}{2} (\nabla^{a} χ^{b}) (\nabla_{a} χ_{b}) \end{aligned}

$\begin{align} \kappa^2 = -\frac{1}{2} \left ( \nabla^a \chi^b \right ) \left ( \nabla_a \chi_b \right ) \end{align}$ , in dieser Notiz , die Wald (12.5.14) zitiert, und diese Formel funktioniert mit den Standard-Schwarzschild-Metriken, auch wenn diese Metrik am Horizont einzigartig ist.

dingo_d

Nun, es heißt, dass diese Formel aus der folgt, die ich eingegeben habe, also sollte es funktionieren. Ich versuche es mit eingehenden Kerr-Koordinaten, aber ich komme nirgendwo hoch. Ich werde es mit diesem versuchen und sehen, wo mich das hinführt.

dingo_d

Ich habe immer noch kein Glück :\ Ich habe es in BL und ingoing Kerr versucht und kann dieses Ergebnis einfach nicht reproduzieren. Bei Verwendung der Formel mit

κ^{2}

$\kappa^2$ Ich muss den Index der kovarianten Ableitung und des Vektors senken

χ_{b}

$\chi_b$ aufrecht?

Hraish kumar

@dingo_d Du musst die Ableitung deines Ausdrucks nehmen für

χ^{μ} χ_{μ}

$\chi^{\mu} \chi_{\mu}$ bevor Sie Werte für Mengen am Horizont einsetzen.

Prof. Shonku

@dingo_d Ich mache die gleiche Berechnung durch. Ich konnte jedoch nicht verstehen, wie es am Horizont geschrieben steht

ξ_{α} = (1 - a Ω_{H} \sin^{2} θ) \partial_{α} r

$\xi_\alpha=(1-a\Omega_H \sin^2 \theta)\partial_\alpha r$ . Wie erhält man diesen Begriff?

dingo_d

Das ist lange her, und ich arbeite nicht mehr an physikalischen Dingen, also kann ich dir wirklich nicht mit Sicherheit antworten :\

Antworten (4)

Oberflächengravitation des Kerr-Schwarzen Lochs

Sie müssen dies in einem Koordinatensystem tun, das am Horizont nicht singulär ist.
Boyer-Lindquist-Koordinaten kommen also nicht in Frage? :\ Aber ich hatte den Eindruck, dass die Berechnung in BL erfolgt :\
Ich habe jetzt im Buch 'Black Holes: An Introduction' gesehen, dass ich eingehende Kerr-Koordinaten verwenden sollte :\
@dingo_d: Ich sehe die Formel $\begin{align} \kappa^2 = -\frac{1}{2} \left ( \nabla^a \chi^b \right ) \left ( \nabla_a \chi_b \right ) \end{align}$ , in dieser Notiz , die Wald (12.5.14) zitiert, und diese Formel funktioniert mit den Standard-Schwarzschild-Metriken, auch wenn diese Metrik am Horizont einzigartig ist.
Nun, es heißt, dass diese Formel aus der folgt, die ich eingegeben habe, also sollte es funktionieren. Ich versuche es mit eingehenden Kerr-Koordinaten, aber ich komme nirgendwo hoch. Ich werde es mit diesem versuchen und sehen, wo mich das hinführt.
Ich habe immer noch kein Glück :\ Ich habe es in BL und ingoing Kerr versucht und kann dieses Ergebnis einfach nicht reproduzieren. Bei Verwendung der Formel mit $\kappa^2$ Ich muss den Index der kovarianten Ableitung und des Vektors senken $\chi_b$ aufrecht?
@dingo_d Du musst die Ableitung deines Ausdrucks nehmen für $\chi^{\mu} \chi_{\mu}$ bevor Sie Werte für Mengen am Horizont einsetzen.
@dingo_d Ich mache die gleiche Berechnung durch. Ich konnte jedoch nicht verstehen, wie es am Horizont geschrieben steht $\xi_\alpha=(1-a\Omega_H \sin^2 \theta)\partial_\alpha r$ . Wie erhält man diesen Begriff?
Das ist lange her, und ich arbeite nicht mehr an physikalischen Dingen, also kann ich dir wirklich nicht mit Sicherheit antworten :\

Chirurgischer Kommandant · Answer 1

Die Berechnung kann in diesem Koordinatensystem problemlos durchgeführt werden, auch wenn es sich nicht über den Horizont erstreckt. Oberflächengravitationen werden sehr häufig in Koordinatensystemen berechnet, die am Horizont schlecht werden. Zum Beispiel die Oberflächengravitation von Schwarzschild

$ds^2 = -f dt^2 + f^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega_2^2, \qquad f= 1- \frac{r_+}{r},$

ist leicht zu finden $\kappa = \frac{f'}{2} = \frac{1}{2r_+}$ .

Ich denke, Ihr Problem ist, dass Sie Mengen am Horizont bewerten, bevor Sie Derivate nehmen. Es ist wichtig, zuerst Derivate zu nehmen und dann am Horizont zu bewerten.

Sie können verwenden *emphasis word*, um Kursivschrift zu erstellen , müssen Sie \textit{}hier nicht verwenden.
Die Art und Weise, wie Sie das erreichen $\kappa = \frac{f'}{2}$ für ein Schwarzschild-Schwarzes Loch hängt grundsätzlich davon ab, das Koordinatensystem in EF-Koordinaten zu ändern, so dass es am Horizont gut definiert ist.

Ted Jacobson · Answer 2

Sie haben Recht, dass die $(\Omega_H-\omega)^2$ Begriff trägt nicht bei. Dies liegt daran, dass es das Quadrat von etwas ist, das am Horizont verschwindet: Wenn Sie die Ableitung bilden, bleibt ein verschwindender Faktor. Was den anderen Begriff betrifft, da $\Delta$ am Horizont verschwindet, verschwindet dieser Term, außer wenn die Ableitung trifft $\Delta$ . Dies ergibt die letzte Formel, die Sie geschrieben haben.

Partha Paul · Answer 3

\nabla_{v} (- χ^{μ} χ_{μ}) = \partial_{v} (- χ^{μ} χ_{μ}) = \frac{ρ^{2}}{Σ} \partial_{v} Δ + Δ \partial_{v} (\frac{ρ^{2}}{Σ}) - (Ω_{H} - ω)^{2} \partial_{v} (\frac{Σ {Sünde}^{2} θ}{ρ^{2}})

$\nabla_\nu(-\chi^\mu\chi_\mu) =\partial_\nu(-\chi^\mu\chi_\mu)\\ =\frac{\rho^2 }{\Sigma}\partial_\nu \Delta + \Delta \partial_\nu(\frac{\rho^2 }{\Sigma})-(\Omega_H -\omega)^2 \partial_\nu(\frac{\Sigma\sin^2{\theta}}{\rho^2})$

Verwenden Sie nun die Horizontbedingung, die Sie erhalten

\nabla_{v} (- χ^{μ} χ_{μ}) = \frac{ρ^{2}}{Σ} \partial_{v} Δ

$\nabla_\nu(-\chi^\mu\chi_\mu)=\frac{\rho^2 }{\Sigma}\partial_\nu \Delta$

Seit $\chi^\mu$ am Horizont null ist und ein Nullvektor so normal zu sich selbst ist $\chi^\mu$ muss proportional zur Horizontnormalen sein. Eine konstante r-Fläche hat eine Normale $\partial_\mu{r}$ . So

χ_{μ} = C \partial_{μ} r

$\chi_{\mu}=C\partial_\mu{r}$ Jetzt ist es unsere Aufgabe, C zu finden. Es kann leicht gefunden werden

g^{μ v} χ_{μ} χ_{n u} = C^{2} g^{μ v} \partial_{μ} r \partial_{v} r = C^{2} g^{r r}

$g^{\mu\nu}\chi_{\mu}\chi_{nu}=C^2g^{\mu\nu}\partial_\mu{r}\partial_\nu{r}\\ =C^2g^{rr}$

So

C^{2} = \frac{χ^{μ} χ_{μ}}{g^{r r}}

$C^2=\frac{\chi^{\mu}\chi_{\mu}}{g^{rr}}$

Nachdem die Algebra fertig ist, nehmen Sie die Horizontgrenze und Sie finden C. Der Rest sind nur wenige Zeilen Algebra.

Ich habe versucht zu rechnen $C^2$ . Jetzt als beide $\chi^\mu \chi_\mu$ und $g^{rr}$ Null sind am Horizont Ich habe L'Hospital verwendet. Aber das Endergebnis gibt $C^2<0$ . Können Sie erklären, wie man es berechnet?
Ich glaube nicht, dass das funktioniert, das wird dir nur garantiert $\xi_\mu$ ist proportional zu $\partial_\mu r$ am Ereignishorizont, davon entfernt, sind sie eigentlich nicht proportional ( $\partial_\mu r$ ist ein raumartiger Vektor außerhalb des Schwarzen Lochs, während $\xi_\mu$ ist zeitgemäß). Dies bedeutet, dass es nicht gültig ist, die Grenze von außerhalb des Horizonts zum Horizont zu ziehen. Wie @ProfShonku betonte, bekommen Sie $C^2 < 0$ was nicht sinnvoll ist.

dingo_d · Answer 4

Ok, jedes Buch, das ich mir angesehen habe, hat dies gelöst, indem es vier Geschwindigkeiten und vier Beschleunigungen eines freien Teilchens am Horizont betrachtet hat, also muss es so sein: \ Obwohl ich sicher bin, dass es eine Möglichkeit gibt, dies über Killing Vector zu tun $\chi^\mu=\partial_t+\Omega_H\partial_r$ .

Also werde ich diese Ableitung nur mit Beschleunigung durchgehen ...

Die Ableitung mit dem Tötungsvektor ist einfach, solange Ihr Koordinatensystem nicht singulär ist. Siehe das in Hawking und Ellis angegebene Koordinatensystem.

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